حل السؤال 4، 0580/43 مايو/يونيو 2021: المنصف العمودي
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك النقطتان أ و ب، والنقطة م هي منتصف القطعة أ ب. المطلوب إيجاد إحداثيي النقطة م. اكتب خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نجمع الإحداثيين السينيين للنقطتين ونقسم الناتج على اثنين، ثم نفعل الشيء نفسه مع الإحداثيين الصاديين. نكتب الناتج على صورة زوج مرتب.
- 1x = (1 + 3)/2 = 2
- 2y = (5 + 9)/2 = 7
- 3M = (2, 7)
Answer(2, 7)
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب معادلة المستقيم العمودي على القطعة أ ب والمار بمنتصفها م. اكتب الإجابة على صورة «الصادي يساوي الميل في السيني زائد الجزء المقطوع من محور الصادات»، مع خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نحسب ميل القطعة أ ب بقسمة التغير الرأسي على التغير الأفقي. ميل العمودي هو مقلوب هذا الميل بإشارة معاكسة. نعوّض بإحداثيي النقطة م من الجزء السابق لنجد الجزء المقطوع من محور الصادات. الخطأ الشائع: استخدام الميل نفسه بدل الميل العمودي.
- 1Gradient of AB = (9 − 5)/(3 − 1) = 2
- 2Perpendicular gradient = −1/2
- 37 = −1/2 × 2 + c, so c = 8
- 4y = −1/2 x + 8
Answery = −1/2 x + 8
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«متجه الموضع» لنقطة هو المتجه من نقطة الأصل إليها. معطى متجها الموضع لنقطتين. المطلوب المتجه الذي يبدأ من النقطة الأولى وينتهي عند الثانية.
كيف تحلّه؟
المتجه من نقطة إلى أخرى يساوي متجه موضع النهاية مطروحًا منه متجه موضع البداية. نطرح كل مركّبة من نظيرتها. انتبه لترتيب الطرح، وانتبه أن طرح العدد السالب يصبح جمعًا. قد تكون إحدى المركّبتين صفرًا، وهذا طبيعي.
- 1→PQ = q − p
- 2= (−2 − (−2), 5 − 3)
- 3= column vector (0, 2)
Answercolumn vector (0, 2)
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة ثالثة معرّفة بأن المتجه من النقطة الأولى إليها يساوي ثلاثة أمثال المتجه من النقطة الأولى إلى الثانية. المطلوب متجه موضع هذه النقطة الثالثة، أي المتجه من نقطة الأصل إليها.
كيف تحلّه؟
نضرب المتجه الذي وجدناه في الجزء السابق في ثلاثة. ثم نجمع الناتج مع متجه موضع النقطة الأولى، لأننا نبدأ من الأصل إلى النقطة الأولى ثم نتحرك منها. الخطأ الشائع هو الاكتفاء بالمتجه المضروب دون إضافة متجه موضع نقطة البداية.
- 1→PR = 3 × (0, 2) = (0, 6)
- 2r = p + →PR = (−2, 3) + (0, 6)
- 3= column vector (−2, 9)
Answercolumn vector (−2, 9)
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، رأس منه هو نقطة الأصل، والمتجهان إلى الرأسين الآخرين معلومان. توجد نقطة على الضلع الثالث، بعدها عن أحد الطرفين ضعف بعدها عن الطرف الآخر. المطلوب متجه هذه النقطة من نقطة الأصل، بدلالة المتجهين، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه الضلع الثالث كفرق بين المتجهين في الاتجاه الصحيح. الشرط يعني أن الضلع مقسوم ثلاثة أجزاء، والجزء من الطرف الأول إلى النقطة جزءان منها. نبدأ من نقطة الأصل إلى الطرف الأول ونضيف هذا الجزء، ثم نجمع الحدود المتشابهة.
- 1→UT = t − u
- 2→UY = 2/3(t − u)
- 3→OY = u + 2/3(t − u)
- 4= 2/3 t + 1/3 u
Answer2/3 t + 1/3 u or 1/3(2t + u)
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة جديدة على أحد ضلعي المثلث الخارجين من نقطة الأصل، والخط الواصل بينها وبين النقطة السابقة يوازي الضلع الآخر. المطلوب متجه هذه النقطة من نقطة الأصل، بدلالة أحد المتجهين أو كليهما، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
الخط الموازي لضلع في المثلث يقسم الضلعين الآخرين بالنسبة نفسها. إذن النقطة الجديدة تقسم ضلعها بنفس نسبة تقسيم النقطة السابقة للضلع الثالث. فمتجهها جزء من المتجه الواقع على ذلك الضلع بحسب هذه النسبة.
- 1YZ is parallel to UO, so Z divides OT in the same ratio as Y divides UT
- 2OZ : ZT = UY : YT = 2 : 1
- 3→OZ = 2/3 t
Answer2/3 t
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المنصف العمودي بالعربي
تدرّب على أسئلة المنصف العمودي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara