حل السؤال 11، 0580/42 مايو/يونيو 2022: حجم ومساحة سطح المخروط
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ورقة مستطيلة تُلفّ لتصنع أسطوانة مفتوحة، بحيث يلتقي ضلعاها القصيران. المطلوب أن تُثبت أن نصف قطر الأسطوانة يساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى ثلاثة أرقام معنوية. عبارة «أثبت أن» تعني أن الإجابة معطاة، وعليك أن تكتب الخطوات التي توصل إليها وتُظهر قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن الضلع الطويل للورقة يلتفّ حول الأسطوانة فيصبح محيط دائرتها. ساوِ قانون المحيط بطول هذا الضلع، ثم اقسم لتجد نصف القطر. اكتب الناتج بأرقام أكثر ثم قرّبه لتُظهر أنه يساوي المطلوب. الخطأ الشائع البدء بالقيمة المعطاة والتحقق منها بدل الوصول إليها.
- 1Circumference = AD = 28 cm
- 22πr = 28, so r = 28 ÷ (2π)
- 3r = 4.456… = 4.46 cm (3 s.f.)
Answer4.455 to 4.456… = 4.46
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ورقة مستطيلة تُلَفّ لتصنع أسطوانة مفتوحة، فيلتقي ضلعان متقابلان منها. أحد ضلعي الورقة يصبح محيط فوهة الأسطوانة والآخر يصبح ارتفاعها. المطلوب: احسب حجم الأسطوانة.
كيف تحلّه؟
الضلع الذي يلتف حول الفوهة هو محيط الدائرة، فساوِه بضعف ط في نصف القطر، ثم أوجد نصف القطر. الضلع الآخر هو الارتفاع. بعد ذلك طبِّق قانون حجم الأسطوانة. الخطأ الشائع هو اعتبار ضلع الورقة نصف قطر أو قطرًا بدل أنه المحيط.
- 1AD (28 cm) goes round the rim, so circumference 2πr = 28.
- 2r = 28 ÷ 2π = 4.456… cm. Height = AB = 20 cm.
- 3Volume = πr²h = π × 4.456…² × 20
- 4= 1247.7… ≈ 1250 cm³
Answer1250 or 1247 to 1249.9…
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ورقة مستطيلة لُفَّت لتصبح أسطوانة مفتوحة، فصار أحد ضلعيها محيط القاعدة والضلع الآخر ارتفاع الأسطوانة. نقطة على حافة القاعدة بحيث يكون الخط منها إلى نقطة أخرى على الحافة قطرًا. المطلوب: احسب الزاوية بين الخط الواصل من نقطة على الحافة العلوية إلى نهاية القطر وبين قاعدة الأسطوانة.
كيف تحلّه؟
الضلع الذي يلتف حول الحافة هو محيط الدائرة، فاقسمه على ضعف النسبة التقريبية لتحصل على نصف القطر، ثم ضاعفه لتحصل على القطر. الارتفاع رأسي فوق أحد طرفي القطر، فالمثلث قائم. استخدم الظل: الارتفاع مقسومًا على القطر. الخطأ الشائع هو استخدام نصف القطر بدل القطر.
- 1BN = 2 × 4.456… = 8.912… cm and AB = 20 cm is vertical
- 2tan ANB = 20 ÷ 8.912…
- 3Angle ANB = 65.98… ≈ 66°
Answer66 or 66.0 or 65.95 to 66.02
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مخروط مصمت معلوم حجمه، وارتفاعه ضعف نصف قطر قاعدته. المطلوب حساب الراسم، أي طول الحافة المائلة من الرأس إلى محيط القاعدة. صيغة حجم المخروط معطاة.
كيف تحلّه؟
عوّض عن الارتفاع بضعف نصف القطر في صيغة الحجم، فتصبح معادلة فيها مكعب نصف القطر. حلّها بالجذر التكعيبي لإيجاد نصف القطر، ثم ضاعفه لتحصل على الارتفاع. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الراسم. الخطأ الشائع: إعطاء الارتفاع العمودي على أنه الراسم.
- 1h = 2r, so 1/3 × π × r² × 2r = 310
- 2r³ = 310 × 3 ÷ (2π) = 148.0…, r = 5.289… cm
- 3h = 2 × 5.289… = 10.579… cm
- 4l² = 5.289…² + 10.579…² = 139.9…
- 5l = 11.82… ≈ 11.8 cm
Answer11.8 or 11.82 to 11.83
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم ومساحة سطح المخروط بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم ومساحة سطح المخروط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara