حل السؤال 12، 0580/42 مايو/يونيو 2022: ميل المنحنى عند نقطة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى فيها ثابت مجهول، ويُعطى ميل المنحنى عند قيمة معيّنة لـ«س». عبارة «أثبت أنّ» تعني أن الجواب معطى لك، والمطلوب أن تكتب الخطوات التي توصلك إليه بوضوح، لا أن تكتفي بالتعويض للتحقق.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة مع إبقاء الثابت المجهول. نعوّض قيمة «س» المعطاة في المشتقة ونساويها بالميل المعطى. نحلّ المعادلة الخطية الناتجة لنصل إلى القيمة المطلوبة. الفخّ: تعويض القيمة المطلوب إثباتها في البداية، وهذا لا يُعدّ إثباتًا.
- 1dy/dx = 3x² − 2kx
- 2At x = 2: 3 × 2² − 2k × 2 = 6
- 312 − 4k = 6
- 44k = 6, k = 1.5
AnswerCorrect working leading to 1.5
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تكعيبي. المطلوب إحداثيات النقطتين الثابتتين، وهما النقطتان اللتان يكون عندهما الميل صفرًا. عبارة «يجب أن تُظهر كل خطوات عملك» تعني أن الجواب وحده لا يكفي.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة لنحصل على دالة الميل، ونساويها بالصفر. نحلّل بإخراج العامل المشترك فنحصل على قيمتين للإحداثي السيني. ثم نعوّض كل قيمة في المعادلة الأصلية لنجد الإحداثي الصادي المقابل لها.
- 1dy/dx = 3x² − 3x = 0
- 23x(x − 1) = 0, so x = 0 or x = 1
- 3x = 0: y = 1; x = 1: y = 1 − 1.5 + 1 = 0.5
- 4(0, 1) and (1, 0.5)
Answer(0, 1) and (1, 0.5)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التكعيبية المعطاة على المحورين. «ارسم رسمًا تقريبيًا» تعني أن المطلوب الشكل الصحيح ومواقع النقطتين الحرجتين بالنسبة للمحاور، لا رسمًا دقيقًا بالنقاط.
كيف تحلّه؟
أوجد النقاط الحرجة بمساواة المشتقة بالصفر، ثم احسب قيمة ص عند كل منها. تقع النقطة العظمى على الجزء الموجب من محور الصادات، والنقطة الصغرى في الربع الأول فوق محور السينات. لذلك يقطع المنحنى محور السينات مرة واحدة فقط عند قيمة سالبة. المعامل الرئيسي موجب، فيصعد ثم ينزل ثم يصعد.
- 1Positive cubic shape: rises, turns, falls, turns, rises
- 2Maximum at (0, 1) on the positive y-axis
- 3Minimum at (1, 0.5) in the first quadrant; crosses the x-axis once, at a negative x
Answercorrect sketch
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس ميل المنحنى عند نقطة بالعربي
تدرّب على أسئلة ميل المنحنى عند نقطة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara