حل السؤال 9، 0580/42 فبراير/مارس 2023: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالة من الدرجة الثالثة. المطلوب إيجاد ميل منحناها عند قيمة معيّنة لـ«س». الميل هنا هو ميل المماس عند تلك النقطة.
كيف تحلّه؟
الميل يُحسب من المشتقة، فنشتق كل حدّ على حدة، والحد الثابت مشتقته صفر. ثم نعوّض قيمة «س» المعطاة في المشتقة. الفخّ: التعويض في الدالة الأصلية بدل المشتقة.
- 1The gradient is the value of dy/dx
- 2x³ → 3x², −3x² → −6x, −4 → 0
- 3dy/dx = 3x² − 6x
- 4At x = 1: 3(1)² − 6(1) = 3 − 6 = −3
Answer−3
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد إحداثيات نقطتي التحوّل على منحنى الدالة نفسها، وهما النقطتان اللتان يتحوّل عندهما المنحنى من صعود إلى هبوط أو العكس (نقطة عظمى محلية ونقطة صغرى محلية).
كيف تحلّه؟
عند نقطة التحوّل يكون الميل صفرًا، فنساوي المشتقة بالصفر ونحلّها بإخراج عامل مشترك فنحصل على قيمتين لـ«س». ثم نعوّض كل قيمة في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي الصادي. الفخّ: إهمال الحل الصفري.
- 13x² − 6x = 0
- 23x(x − 2) = 0, so x = 0 or x = 2
- 3f(0) = −4 and f(2) = 8 − 12 − 4 = −8
- 4(0, −4) and (2, −8)
Answer(0, −4) and (2, −8)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التكعيبية المعطاة على المحورين. المطلوب الشكل الصحيح ومواقع النقطة العظمى والنقطة الصغرى بالنسبة للمحاور، وليس رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
المعامل الرئيسي موجب، فالمنحنى يصعد من أسفل اليسار وينتهي أعلى اليمين. أوجد النقاط الحرجة بمساواة المشتقة بالصفر: تقع النقطة العظمى على الجزء السالب من محور الصادات، والنقطة الصغرى في الربع الرابع. بعدها يصعد المنحنى ويقطع محور السينات مرة واحدة فقط ويدخل الربع الأول.
- 1Positive cubic: rises from bottom left, ends top right
- 2Maximum at (0, −4) on the negative y-axis, minimum at (2, −8) in the fourth quadrant
- 3Curve then rises and crosses the x-axis once, between x = 3 and x = 4, into the first quadrant
AnswerCorrect sketch (maximum on the negative y-axis, minimum in the correct quadrant, curve extends into the first quadrant)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara