حل السؤال 5، 0580/43 مايو/يونيو 2022: تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 19 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
سُجّل الزمن الذي يستغرقه مجموعة من الأشخاص للوصول إلى العمل، والجدول مقسّم إلى فئات زمنية مع تكرار كل فئة. المطلوب «اكتب» الفئة التي يقع فيها الوسيط، أي الفئة التي تحتوي على الزمن الأوسط عند ترتيب الأزمنة تصاعديًا.
كيف تحلّه؟
حدّد موقع المنتصف من العدد الكلي للأشخاص. اجمع التكرارات تراكميًا من أول فئة حتى يتجاوز المجموع هذا الموقع، فالفئة التي يحدث عندها ذلك هي فئة الوسيط. الخطأ الشائع: اختيار الفئة الوسطى في الجدول أو الفئة ذات أكبر تكرار.
- 1Median is the 40th−41st value; cumulative frequencies 3, 10, 28, 56
- 2Median class: 20 < t ≤ 35
Answer20 < t ≤ 35
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يعطيك الجدول الوقت الذي يستغرقه مجموعة من الأشخاص في الذهاب إلى العمل، موزعًا على فئات مع تكرار كل فئة. المطلوب حساب تقدير للوسط الحسابي للوقت. أظهر خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
أوجد مركز كل فئة بأخذ منتصف حديها. اضرب كل مركز في تكرار فئته، ثم اجمع النواتج. اقسم المجموع على العدد الكلي للأشخاص. احذر من استخدام الحد الأعلى للفئة بدل مركزها، ولاحظ أن الفئات مختلفة العرض.
- 1Mid-values: 2.5, 7.5, 15, 27.5, 47.5
- 2Σfm = 3×2.5 + 7×7.5 + 18×15 + 28×27.5 + 24×47.5
- 3= 7.5 + 52.5 + 270 + 770 + 1140 = 2240
- 4Mean = 2240 ÷ 80 = 28 min
Answer28
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
يبيّن الجدول الوقت الذي يستغرقه عدد من الأشخاص للوصول إلى العمل، في مجموعات. يُختار شخص عشوائيًا، والمطلوب احتمال أن يكون وقته أطول من عشر دقائق. يجب أن تكتب الناتج كسرًا في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
حدّد المجموعات التي يكون فيها الوقت أكثر من عشر دقائق، وهي كل المجموعات بعد المجموعة التي تنتهي عند عشر دقائق. اجمع تكراراتها واقسم المجموع على العدد الكلي. ثم بسّط الكسر إلى أبسط صورة. انتبه: المجموعة التي تنتهي عند عشر دقائق تمامًا لا تُحسب لأن المطلوب «أطول من».
- 1Longer than 10 min: 18 + 28 + 24 = 70
- 2P = 70/80 = 7/8
Answer7/8
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يبيّن أزمنة وصول الناس إلى العمل في فئات. نختار شخصين فقط من بين من استغرقوا عشرين دقيقة أو أقل. المطلوب احتمال أن يكون أحدهما استغرق خمس دقائق أو أقل والآخر أكثر من خمس دقائق.
كيف تحلّه؟
اجمع تكرارات الفئات الثلاث الأولى لتعرف حجم المجموعة. عدد من استغرقوا خمس دقائق أو أقل هو تكرار الفئة الأولى، والباقي من المجموعة استغرقوا أكثر. احسب احتمال الترتيبين دون إرجاع واجمعهما ثم بسّط. الفخ: استخدام العدد الكلي لكل الأشخاص بدل المجموعة المختارة.
- 120 minutes or less: 3 + 7 + 18 = 28 people; 3 took 5 min or less, 25 took more
- 2P = 3/28 × 25/27 + 25/28 × 3/27
- 3= 2 × 75/756 = 150/756 = 25/126
Answer25/126
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك جدول تكراري للمدة التي يستغرقها عدد من الأشخاص للوصول إلى العمل بالدقائق. المطلوب: أكمل الخانتين الفارغتين في جدول التكرار التجميعي، فبعض الخانات معطاة لك.
كيف تحلّه؟
كل خانة في الجدول التجميعي هي الخانة السابقة لها مضافًا إليها تكرار الفئة التالية. ابدأ من آخر خانة معطاة واستمر في الإضافة. تحقق أن إضافة التكرار الأخير توصلك إلى العدد الكلي المعطى في آخر خانة.
- 110 + 18 = 28, 28 + 28 = 56
- 2t ≤ 20: 28, t ≤ 35: 56
Answer28 and 56
الجزء (cii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب: ارسم على الشبكة منحنى التكرار التجميعي لأزمنة الوصول إلى العمل، مستخدمًا الجدول التجميعي المكتمل.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقطة عند الحد الأعلى لفئتها مع تكرارها التجميعي، وابدأ المنحنى من نقطة الصفر. صل النقاط بمنحنى أملس متصاعد أو بقطع مستقيمة. الفخ: تعيين النقاط عند منتصفات الفئات، أو وضعها على مسافات متساوية رغم أن الفئات مختلفة الطول.
- 1Plot (5, 3), (10, 10), (20, 28), (35, 56), (60, 80) at the upper class boundaries
- 2Start at (0, 0) and join with a smooth increasing curve (or straight lines)
AnswerCorrect diagram
الجزء (ciii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطي أزمنة وصول عدد من الأشخاص إلى العمل في فئات. المطلوب تقدير المئين الثمانين، أي الزمن الذي يقع تحته ثمانون في المئة من الأشخاص، عادةً من منحنى التكرار التجميعي الذي رسمته.
كيف تحلّه؟
نحسب ثمانين في المئة من العدد الكلي للأشخاص فنحصل على موقع المئين على محور التكرار التجميعي. نتحرك أفقيًا إلى المنحنى ثم ننزل إلى محور الزمن ونقرأ القيمة. انتبه أن تبدأ من الموقع المحسوب لا من النسبة نفسها.
- 180th percentile: 80% of 80 = 64, read across from cumulative frequency 64
- 2With straight lines: 35 + (64 − 56)/24 × 25 = 43.3…
- 380th percentile ≈ 43 minutes
Answer43 (accept 41 to 45)
الجزء (civ) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تقدير النسبة المئوية للأشخاص الذين استغرقوا أكثر من زمن معيّن في الوصول إلى العمل. عبارة «أظهر كل خطوات الحل» تعني أن الدرجات تُعطى على الخطوات لا على الإجابة النهائية فقط.
كيف تحلّه؟
نصعد من الزمن المعطى على المحور الأفقي إلى المنحنى، ونقرأ التكرار التجميعي المقابل، وهو عدد الذين استغرقوا هذا الزمن أو أقل. نطرح هذه القراءة من العدد الكلي لنحصل على عدد الذين استغرقوا أكثر. ثم نقسم على العدد الكلي ونضرب في مئة. الخطأ الشائع هو نسيان الطرح وإعطاء نسبة الأقل بدل الأكثر.
- 1Read up from t = 45: cumulative frequency ≈ 56 + 10/25 × 24 = 65.6 (with straight lines)
- 2Longer than 45 min: 80 − 65.6 = 14.4 people
- 314.4 ÷ 80 × 100 ≈ 18%
Answer17.5 (accept 14 to 20)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تقدير المتوسط للبيانات المجمعة بالعربي
تدرّب على أسئلة تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara