حل السؤال 4، 0580/43 مايو/يونيو 2022: اختيار النسبة المثلثية المناسبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
مضلّع منتظم له اثنا عشر ضلعًا. المطلوب أن تُثبت أن زاويته الداخلية تساوي القيمة المعطاة. «أثبت أن» تعني أن تكتب الحساب الذي يوصل إليها. طول الضلع لا يلزم في هذا الجزء.
كيف تحلّه؟
نقسم ثلاثمئة وستين على عدد الأضلاع لنجد الزاوية الخارجية، ثم نطرحها من مئة وثمانين. أو نجد مجموع الزوايا الداخلية بضرب عدد الأضلاع ناقص اثنين في مئة وثمانين، ثم نقسم على عدد الزوايا.
- 1Exterior angle = 360 ÷ 12 = 30°
- 2Interior angle = 180 − 30 = 150°
Answer((12 − 2) × 180)/12 = 150 or 180 − 360/12 = 150
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مضلع منتظم مرسوم داخل دائرة بحيث تقع كل رؤوسه على محيطها، ونعرف طول ضلعه. المطلوب أن تُثبت أن نصف قطر الدائرة يساوي القيمة المعطاة مقرّبة لمنزلة عشرية واحدة. «أثبت أن» تعني أن تكتب الحساب كاملًا وتُظهر قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
نقسم الزاوية الكاملة عند المركز على عدد الأضلاع لنجد الزاوية المركزية المقابلة لضلع واحد. المثلث الناتج متساوي الساقين، فنجد زاويتي القاعدة، أو ننصّفه إلى مثلثين قائمين. ثم نستعمل نصف طول الضلع مع جيب التمام لإيجاد نصف القطر. الفخ الشائع: استعمال الضلع كاملًا بدل نصفه في المثلث القائم.
- 1Angle AOB = 360 ÷ 12 = 30°, so angle OAB = 150 ÷ 2 = 75°
- 2Half of AB = 3 cm: cos 75 = 3/AO
- 3AO = 3 ÷ cos 75 = 11.59… = 11.6 cm (1 d.p.)
Answer11.59…
الجزء (biia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مضلع منتظم له اثنا عشر ضلعًا معلوم طول ضلعه، وتمرّ برؤوسه كلها دائرة. المطلوب أن تحسب محيط هذه الدائرة مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
تحتاج أولًا إلى نصف قطر الدائرة، وهو المسافة من المركز إلى أحد الرؤوس، وقد يكون محسوبًا في جزء سابق. إن لم يكن، فاقسم الدورة الكاملة على عدد الأضلاع لتعرف الزاوية عند المركز، وارسم من المركز عمودًا على الضلع، واستعمل النسب المثلثية مع نصف طول الضلع. ثم طبّق قانون المحيط: ضعف نصف القطر مضروبًا في باي.
- 1Circumference = 2 × π × 11.59…
- 2= 72.82… ≈ 72.8 cm
Answer72.8 or 72.9 or 72.82 to 72.89…
الجزء (biib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مضلع منتظم له اثنا عشر ضلعًا مرسوم داخل دائرة، ورؤوسه كلها على الدائرة. المطلوب محيط القطعة الدائرية الصغرى المظلّلة، وحدودها هي الضلع والقوس الذي فوقه.
كيف تحلّه؟
القوس المقابل لضلع واحد هو جزء من اثني عشر جزءًا متساويًا من محيط الدائرة، فاقسم المحيط الذي وجدته في الجزء السابق على اثني عشر. ثم أضف طول الضلع نفسه لأنه الحد المستقيم للقطعة. لا تضف نصفي القطر المتقطعين فليسا من حدودها.
- 1Arc AB = 72.82… ÷ 12 = 6.069… cm
- 2Perimeter = 6 + 6.069… = 12.06… ≈ 12.1 cm
Answer12.1 or 12.06 to 12.08
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مضلع منتظم له اثنا عشر ضلعًا متساوية، وطول ضلعه معطى، وهو المقطع العرضي لمنشور طوله معطى. المطلوب: احسب حجم المنشور.
كيف تحلّه؟
قسِّم المضلع إلى اثني عشر مثلثًا متطابقًا رأسها في مركزه. احسب مساحة مثلث واحد باستخدام حساب المثلثات، فزاوية الرأس هي الدورة الكاملة مقسومة على اثني عشر. اضرب مساحة المثلث في اثني عشر لتحصل على مساحة المقطع، ثم اضربها في طول المنشور. احتفظ بالأرقام كاملة دون تقريب حتى النهاية.
- 1Area of triangle OAB = 1/2 × 6 × 11.59… × sin 75 = 33.58… cm²
- 2Cross-section area = 12 × 33.58… = 403.06… cm²
- 3Volume = 403.06… × 2 = 806.1… ≈ 806 cm³
Answer806 or 807 or 805.9 to 807.4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس اختيار النسبة المثلثية المناسبة بالعربي
تدرّب على أسئلة اختيار النسبة المثلثية المناسبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara