حل السؤال 12، 0580/43 مايو/يونيو 2023: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى. المطلوب إيجاد المشتقة، أي الدالة التي تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. الحد الثابت مشتقته صفر فيختفي. الفخّ: إبقاء الحد الثابت أو الخطأ في إشارة الحد السالب.
- 1Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹
- 2x⁴ → 4x³
- 3−8x² → 2 × (−8)x = −16x
- 45 → 0
- 5dy/dx = 4x³ − 16x
Answer4x³ − 16x
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى من الدرجة الرابعة. المطلوب إحداثيات نقاط الدوران الثلاث، أي النقاط التي يكون عندها الميل صفرًا. يجب إظهار كل خطوات العمل.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر. نخرج العامل المشترك ثم نحلل الفرق بين مربعين، فنحصل على ثلاث قيم للإحداثي السيني. نعوّض كل قيمة في المعادلة الأصلية لنجد الإحداثي الصادي. لا تنسَ القيمة السالبة.
- 1dy/dx = 0: 4x³ − 16x = 0
- 24x(x − 2)(x + 2) = 0, so x = 0, 2, −2
- 3x = 0: y = 5
- 4x = ±2: y = 16 − 32 + 5 = −11
- 5(0, 5), (−2, −11), (2, −11)
Answer(0, 5), (−2, −11), (2, −11)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى ثلاث نقاط تحوّل على المنحنى. المطلوب تحديد أيّها نقطة عظمى، مع تبرير جوابك. عبارة «برّر» تعني أن تذكر سببًا رياضيًا واضحًا، فالجواب بلا سبب لا يأخذ الدرجة كاملة.
كيف تحلّه؟
يمكن إيجاد المشتقة الثانية وتعويض الإحداثي السيني للنقطة فيها: إذا كانت النتيجة سالبة فالنقطة عظمى. وبطريقة أبسط: النقطة التي إحداثيها الصادي أكبر من النقطتين الأخريين تقع بين نقطتين صغريين فهي العظمى. الفخّ: ذكر النقطة الصحيحة دون أي تبرير.
- 1d²y/dx² = 12x² − 16
- 2At x = 0: d²y/dx² = −16 < 0
- 3So (0, 5) is a maximum
Answer(0, 5) with correct reasoning, e.g. d²y/dx² = 12x² − 16 = −16 < 0 at x = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara