حل السؤال 22، 0580/22 فبراير/مارس 2025: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 22 (Extended) · بدون آلة حاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى من الدرجة الثالثة، وتُعطى إحدى نقطتيه الثابتتين. المطلوب إيجاد إحداثيات النقطة الثابتة الأخرى، أي النقطة الثانية التي يكون عندها الميل صفرًا.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر فنحصل على معادلة تربيعية. نحلّلها إلى عاملين، وأحد الحلين هو الإحداثي السيني للنقطة المعطاة، فنأخذ الحل الآخر. ثم نعوّضه في معادلة المنحنى الأصلية لإيجاد «ص». الفخّ: أخطاء الإشارة عند تعويض عدد سالب مرفوع لقوى مختلفة.
- 1dy/dx = 3x² + 2x − 1
- 2At stationary points 3x² + 2x − 1 = 0
- 3(3x − 1)(x + 1) = 0, so x = 1/3 or x = −1
- 4x = −1: y = (−1)³ + (−1)² − (−1) = −1 + 1 + 1 = 1
- 5(−1, 1)
Answer(−1, 1)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم شكل تقريبي للمنحنى على المحورين الفارغين، ثم الاستفادة من هذا الرسم لتقرّر هل النقطة الثابتة المعطاة نقطة عظمى أم صغرى. الرسم التقريبي يعني إظهار الشكل العام ومواقع النقاط المهمة لا رسمًا دقيقًا بالقياس.
كيف تحلّه؟
المنحنى من الدرجة الثالثة ومعامل الحد الأعلى موجب، فهو يبدأ من الأسفل وينتهي في الأعلى، ويمرّ بنقطة الأصل. نضع النقطة العظمى التي وجدناها في الفقرة السابقة في الربع الثاني، والنقطة الأخرى تحت محور السينات قليلًا في الربع الرابع. بما أن المنحنى ينزل ثم يصعد عند النقطة المعطاة فهي صغرى. الفخّ: رسم المنحنى مقلوبًا أو وضع النقاط في الأرباع الخطأ.
- 1Sketch a positive cubic through the origin (y = x(x² + x − 1), roots x = 0, ≈ 0.62, ≈ −1.62)
- 2Maximum at (−1, 1) in the 2nd quadrant, minimum just below the x-axis at x = 1/3 in the 4th quadrant
- 3The curve falls then rises at x = 1/3, so (1/3, −5/27) is a minimum
AnswerCorrect sketch of positive cubic with minimum in correct quadrant; (1/3, −5/27) is a minimum
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى معادلة طرفها الأيسر هو تعبير المنحنى وطرفها الأيمن ثابت مجهول. المطلوب إيجاد مدى قيم هذا الثابت التي تجعل عدد حلول المعادلة أقل من ثلاثة.
كيف تحلّه؟
عدد الحلول هو عدد نقاط تقاطع المنحنى مع خط أفقي ارتفاعه يساوي الثابت. يقطع الخط المنحنى ثلاث مرات فقط إذا كان ارتفاعه بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى تمامًا. لذا يكون عدد الحلول أقل من ثلاثة إذا كان الثابت أكبر من القيمة العظمى أو يساويها، أو أصغر من القيمة الصغرى أو يساويها. الفخّ: نسيان حالتي المساواة، فعندهما يمسّ الخط المنحنى فيكون عدد الحلول اثنين فقط.
- 1The line y = k meets the curve 3 times only between the turning values −5/27 and 1
- 2Fewer than 3 solutions when k is on or beyond a turning value
- 3k ≥ 1 or k ≤ −5/27
Answerk ≥ 1 or k ≤ −5/27
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara