حل السؤال 3، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2022: تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أكمل كاي جدولًا تكراريًا للمسافات التي قطعتها مجموعة من السيارات، موزعة على فئات. المطلوب حساب تقدير للوسط الحسابي للمسافة. أظهر خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
أوجد مركز كل فئة بأخذ منتصف حديها. اضرب كل مركز في تكرار فئته، ثم اجمع النواتج. اقسم المجموع على العدد الكلي للسيارات. الخطأ الشائع هو القسمة على عدد الفئات بدل مجموع التكرارات.
- 1Mid-points: 90, 125, 175, 250, 350
- 2Σfx = 7×90 + 33×125 + 76×175 + 52×250 + 32×350 = 42255
- 3Mean = 42255 ÷ 200 = 211.275 km
Answer211.275
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
استخدمت آن جدولًا للبيانات نفسها، لكن الفئة الأخيرة عندها لها حد أعلى مختلف، والتكرارات كلها كما هي. المطلوب أن تجد الفرق بين تقديري الوسط الحسابي عند آن وعند كاي دون أن تعيد حساب الوسط كاملًا. يجب أن تُظهر خطوات الحل كلها.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن التغيير الوحيد هو مركز الفئة الأخيرة، فبقية الحسابات لا تتغير. أوجد مقدار تغيّر هذا المركز، واضربه في تكرار الفئة الأخيرة لتعرف كم تغيّر مجموع النواتج. ثم اقسم هذا التغيّر على العدد الكلي للسيارات لتحصل على الفرق بين التقديرين. الخطأ الشائع هو إعادة حساب الوسط كله، وهو ما يمنعه السؤال.
- 1Only the last mid-point changes: 350 → 330, a change of 20
- 2Difference = 32 × 20 ÷ 200 = 3.2 km
Answer3.2 or −3.2
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
رُسم مدرّج تكراري من الجدول، ومعطى لك ارتفاع العمود لفئة واحدة بالسنتيمتر. المطلوب أن تحسب ارتفاع الأعمدة لثلاث فئات أخرى بالسنتيمتر.
كيف تحلّه؟
احسب كثافة التكرار للفئة المعروفة بقسمة تكرارها على طولها، ثم قارنها بارتفاعها لتعرف كم سنتيمترًا يقابل كل وحدة من الكثافة. بعدها احسب كثافة تكرار كل فئة مطلوبة واضربها في هذا المعامل. انتبه: الارتفاع يتناسب مع الكثافة لا مع التكرار.
- 1Frequency density 200 < d ≤ 300: 52 ÷ 100 = 0.52 → 2.6 cm, so height = 5 × frequency density
- 280 < d ≤ 100: 7 ÷ 20 = 0.35 → 1.75 cm
- 3150 < d ≤ 200: 76 ÷ 50 = 1.52 → 7.6 cm
- 4300 < d ≤ 400: 32 ÷ 100 = 0.32 → 1.6 cm
Answer80 < d ≤ 100: 1.75 cm 150 < d ≤ 200: 7.6 cm 300 < d ≤ 400: 1.6 cm
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
جدول التكرار يبيّن المسافات التي قطعتها مجموعة من السيارات بالكيلومتر. تُختار سيارة عشوائيًا. المطلوب: احتمال أن تكون قد قطعت أكثر من ثلاثمئة كيلومتر.
كيف تحلّه؟
حدّد الفئة التي تمثّل المسافات الأكبر من ثلاثمئة كيلومتر وخذ تكرارها. اقسمه على العدد الكلي للسيارات، ثم بسّط الكسر.
- 1P(more than 300 km) = 32/200 = 4/25
Answer4/25
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يبيّن المسافات التي قطعتها السيارات في فئات. نختار سيارتين عشوائيًا. المطلوب احتمال أن تكون كلتاهما قد قطعت مئة وخمسين كيلومترًا أو أقل.
كيف تحلّه؟
عدد السيارات التي قطعت مئة وخمسين أو أقل هو مجموع تكراري الفئتين الأوليين. اضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية بعد إنقاص هذا العدد والعدد الكلي بواحد، ثم بسّط.
- 1150 km or less: 7 + 33 = 40 cars
- 2P = 40/200 × 39/199 = 1560/39800 = 39/995
Answer39/995
الجزء (cii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نختار سيارتين عشوائيًا من السيارات نفسها. المطلوب احتمال أن تكون إحداهما قطعت أكثر من مئتي كيلومتر والأخرى مئة كيلومتر أو أقل.
كيف تحلّه؟
عدد السيارات التي قطعت أكثر من مئتين هو مجموع تكراري الفئتين الأخيرتين، وعدد التي قطعت مئة أو أقل هو تكرار الفئة الأولى. احسب احتمال الترتيبين دون إرجاع واجمعهما ثم بسّط. الفخ: نسيان الترتيب المعاكس.
- 1More than 200 km: 52 + 32 = 84 cars, 100 km or less: 7 cars
- 2P = 2 × 84/200 × 7/199 = 1176/39800
- 3= 147/4975
Answer147/4975
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تقدير المتوسط للبيانات المجمعة بالعربي
تدرّب على أسئلة تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara