حل السؤال 10، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2022: الهندسة المتجهية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «ارسم» على الشبكة متجهًا يساوي ضعف المتجه الأول، و«سمِّه» أي اكتب اسمه بجانبه. لا بد من رأس سهم يبين الاتجاه.
كيف تحلّه؟
نضاعف كل مركبة من المتجه. المركبة العليا تعني عدد المربعات أفقيًا، يمينًا إن كانت موجبة ويسارًا إن كانت سالبة، والسفلى تعني عدد المربعات رأسيًا، أعلى إن كانت موجبة وأسفل إن كانت سالبة. نرسم القطعة من أي نقطة على الشبكة ونضع رأس السهم في نهايتها ثم نكتب الاسم. الفخ الشائع: نسيان رأس السهم أو الاسم.
- 12a = column vector (2, 4)
- 2Draw an arrow 2 right and 4 up, label it 2a
Answer2a drawn correctly with direction arrow
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «ارسم» على الشبكة المتجه الناتج من طرح المتجه الثاني من الأول، و«سمِّه». لا بد من رأس سهم يبين الاتجاه.
كيف تحلّه؟
نحسب أولًا الفرق مركبةً من مركبة، مع الانتباه إلى أن طرح عدد سالب يصبح جمعًا. ثم نرسم: المركبة العليا حركة أفقية والسفلى حركة رأسية، والإشارة تحدد الاتجاه. نضع رأس السهم عند النهاية ونكتب الاسم.
- 1a − b = (1 − (−3), 2 − 5) = column vector (4, −3)
- 2Draw an arrow 4 right and 3 down, label it a − b
Answera − b drawn correctly with direction arrow
الجزء (bia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك شبه منحرف أحد رؤوسه نقطة الأصل، ومعطاة متجهات الضلع السفلي والضلع الجانبي والضلع العلوي الموازي. المطلوب المتجه من الأصل إلى الرأس البعيد، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
امشِ من الأصل صعودًا على الضلع الجانبي، ثم سر على الضلع العلوي بمتجهه المعطى. اجمع الجزأين.
- 1→OB = →OC + →CB = q + 3/4 p
Answerq + 3/4 p
الجزء (bib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نفس شبه المنحرف. المطلوب متجه الضلع المائل، من طرف الضلع السفلي إلى الرأس البعيد، بدلالة المتجهين وفي أبسط صورة. اعرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
ارجع من نقطة البداية إلى الأصل، وهذا عكس متجه الضلع السفلي فيأخذ إشارة سالبة. ثم أضف المتجه من الأصل إلى الرأس البعيد الذي وجدته في الجزء السابق. اجمع الحدود المتشابهة، وانتبه لطرح الكسر من الواحد بشكل صحيح.
- 1→AB = →AO + →OB = −p + q + 3/4 p
- 2= q − 1/4 p
Answerq − 1/4 p
الجزء (bic) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في شبه المنحرف، متجها ضلعين خارجين من نقطة الأصل معلومان، والضلع العلوي جزء من القاعدة. نقطة هي منتصف الضلع العلوي، وأخرى على الضلع المائل تقسمه بنسبة معطاة. المطلوب «أوجد» المتجه بين النقطتين، بدلالة أحد المتجهين أو كليهما، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نكتب أولًا متجه الضلع المائل بالسير: نعود إلى نقطة الأصل، ثم نصعد على الضلع الأيسر، ثم نسير على الضلع العلوي. من المنتصف نسير إلى نهاية الضلع العلوي، وهي نصفه، ثم ننزل على الضلع المائل إلى النقطة، وهذا جزء من متجهه في الاتجاه المعاكس. نجمع ونوحّد المقامات. الفخ الشائع: إشارة الجزء النازل على الضلع المائل.
- 1→MB = 3/8 p, →BN = −2/3 →AB = −2/3(q − 1/4 p)
- 2→MN = 3/8 p − 2/3 q + 1/6 p
- 3= 13/24 p − 2/3 q
Answer13/24 p − 2/3 q
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
عند مدّ القاعدة والخط الواصل بين النقطتين السابقتين، يلتقيان في نقطة جديدة. المطلوب «متجه الموضع» لهذه النقطة، أي المتجه من نقطة الأصل إليها، بدلالة متجه القاعدة فقط.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه نقطة الالتقاء بالسير إلى المنتصف ثم إضافة مضاعف مجهول من المتجه الذي وجدناه في الجزء السابق. ولأن نقطة الالتقاء على القاعدة، يجب أن يختفي فيها المتجه الآخر تمامًا، فنساوي معامله بالصفر لنجد المضاعف. نعوّض ونجمع حدود متجه القاعدة.
- 1→OG = →OM + t→MN = q + 3/8 p + t(13/24 p − 2/3 q)
- 2q terms cancel: 1 − 2/3 t = 0, t = 3/2
- 3→OG = 3/8 p + 3/2 × 13/24 p = 3/8 p + 13/16 p
- 4= 19/16 p
Answer19/16 p
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara