0580/43 October/November 2022 سؤال 9: ميل المنحنى عند نقطة

Question 1

ارسم رسمًا تقريبيًا للمستقيم الذي معادلته: ثلاثة س ناقص أربعة ص يساوي اثني عشر. الرسم التقريبي لا يحتاج شبكة دقيقة، لكن المطلوب أن تكتب على المحورين قيم نقاط تقاطع الخط معهما.

Accepted Answer

لإيجاد نقطة التقاطع مع محور الصادات ضع س صفرًا وحل المعادلة لـ ص، ولإيجاد التقاطع مع محور السينات ضع ص صفرًا وحل لـ س. ارسم خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين واكتب قيمتيهما على المحورين. الخطأ الشائع: نسيان كتابة القيم على المحورين، أو الخطأ في إشارة المقطع الصادي. x = 0: −4y = 12, y = −3; y = 0: 3x = 12, x = 4 Draw a straight line through (0, −3) and (4, 0), positive gradient, marking −3 and 4 Answer: Correct sketch of 3x − 4y = 12 with y = −3 and x = 4 indicated on axes

Question 2

ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التربيعية المعطاة، وبيّن على الرسم نقاط تقاطعه مع المحورين. المطلوب الشكل الصحيح والقيم، لا رسمًا دقيقًا.

Accepted Answer

حلّل المقدار التربيعي إلى قوسين، ثم ساوِ كل قوس بالصفر لتجد الجذرين على محور السينات. عوّض س بصفر لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات. معامل مربع س موجب، فالمنحنى على شكل حرف يو، وأدنى نقطة فيه في منتصف المسافة بين الجذرين، أي يمين محور الصادات قليلًا وتحت محور السينات. الخطأ الشائع هو وضع أدنى نقطة على محور الصادات نفسه. y = (x − 4)(x + 1): roots x = −1 and x = 4 y-intercept (0, −4) U-shaped parabola through these points, minimum just right of the y-axis (at x = 1.5) below the x-axis Answer: Correct sketch of y = x² − 3x − 4 with (0, −4) indicated as y-intercept and x = −1 and x = 4 indicated as roots; minimum in fourth quadrant, not at x = 0

Question 3

ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة: ص تساوي ستة أُس س، ووضّح على الرسم أي نقطة يقطع فيها المنحنى المحورين. «رسم تقريبي» يعني الشكل الصحيح والنقاط المهمة فقط.

Accepted Answer

عوّض بالصفر مكان س لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات واكتبها على الرسم. المنحنى متزايد ويبقى فوق محور السينات، ويقترب منه عند قيم س السالبة دون أن يقطعه، فلا تقاطع مع محور السينات. الخطأ الشائع: جعل المنحنى يمر بنقطة الأصل. 6⁰ = 1, so the curve crosses the y-axis at (0, 1) Increasing curve, above the x-axis, approaching the x-axis for negative x Answer: Correct sketch of y = 6ˣ with y-intercept indicated at (0, 1)

Question 4

لديك معادلة فيها حد ثابت وحد خطي وحد مكعّب معامله كسر سالب. المطلوب إيجاد المشتقة.

Accepted Answer

نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. الحد الثابت يختفي، وحد «س» وحده يصبح معامله. في الحد المكعّب يُضرب الكسر في الأس فيتبسّط. الفخّ: إهمال الإشارة السالبة أو عدم تبسيط الكسر. Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹ 5 → 0 8x → 8 −(4/3)x³ → 3 × (−4/3)x² = −4x² dy/dx = 8 − 4x² Answer: 8 − 4x²

Question 5

المطلوب إيجاد ميل المنحنى نفسه عند قيمة سالبة لـ«س». يمكنك الاستفادة من المشتقة التي وجدتها في الفقرة السابقة.

Accepted Answer

الميل هو قيمة المشتقة عند النقطة، فنعوّض قيمة «س» في المشتقة من الفقرة السابقة. تذكّر أن مربع العدد السالب موجب. الفخّ: التعويض في المعادلة الأصلية أو الخطأ في الإشارة. The gradient is the value of dy/dx From part (i): dy/dx = 8 − 4x² At x = −1: 8 − 4 × (−1)² = 8 − 4 = 4 Answer: 4

Question 6

يُرسم مماس للمنحنى نفسه وميله معلوم وسالب. المطلوب إيجاد إحداثيات النقطتين الممكنتين اللتين يمسّ عندهما المماس المنحنى، أي النقطتين اللتين يكون ميل المنحنى عندهما مساويًا لهذا الميل.

Accepted Answer

نساوي المشتقة من الفقرة الأولى بالميل المعطى، فنحصل على معادلة فيها مربع «س»، فيكون لها حلان متعاكسان في الإشارة. نعوّض كل قيمة في معادلة المنحنى الأصلية لإيجاد «ص». الفخّ: أخذ الجذر الموجب فقط ونسيان السالب، أو مساواة المشتقة بالصفر. 8 − 4x² = −28 4x² = 36, x² = 9, x = 3 or −3 x = 3: y = 5 + 24 − 4/3 × 27 = −7 x = −3: y = 5 − 24 + 36 = 17 (3, −7) and (−3, 17) Answer: (3, −7) and (−3, 17)

حل السؤال 9، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2022: ميل المنحنى عند نقطة

الجزء (ai) · درجتان

الجزء (aii) · 4 درجات

الجزء (aiii) · درجتان

الجزء (bi) · درجتان

الجزء (bii) · درجتان

الجزء (biii) · 5 درجات

تدرّب على أسئلة ميل المنحنى عند نقطة

أسئلة أخرى على ميل المنحنى عند نقطة