حل السؤال 11، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2023: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب اشتقاق التعبير المعطى، أي إيجاد الدالة التي تعطي ميله عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. حد «س» وحده يصبح معامله فقط. الفخّ: إهمال الإشارات السالبة للحدين الأخيرين.
- 1Differentiate term by term: bring the power down, then reduce it by 1.
- 2x³ → 3x², −4x² → −8x, −3x → −3
- 3Answer: 3x² − 8x − 3
Answer3x² − 8x − 3
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى. المطلوب إحداثيات النقطتين الثابتتين، أي النقطتين اللتين يكون عندهما الميل صفرًا. يجب إظهار كل خطوات العمل.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر، ثم نحلل المعادلة التربيعية إلى قوسين فنحصل على قيمتين إحداهما كسر سالب. نعوّض كل قيمة في المعادلة الأصلية. الحساب مع الكسر يحتاج عناية، فوحّد المقامات واترك الجواب كسرًا دقيقًا.
- 1Stationary points: 3x² − 8x − 3 = 0
- 2(3x + 1)(x − 3) = 0, so x = 3 or x = −1/3
- 3x = 3: y = 27 − 36 − 9 = −18
- 4x = −1/3: y = −1/27 − 4/9 + 1 = (−1 − 12 + 27)/27 = 14/27
- 5Points (3, −18) and (−1/3, 14/27)
Answer(3, −18) and (−1/3, 14/27)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى النقطتان الثابتتان للمنحنى. المطلوب تحديد هل كل منهما نقطة عظمى أم صغرى. يشترط السؤال إظهار جميع خطوات العمل، فالحكم بلا تبرير لا يكفي.
كيف تحلّه؟
نجد المشتقة الثانية بأن نشتق المشتقة الأولى مرة أخرى. نعوّض الإحداثي السيني لكل نقطة فيها: إذا كانت النتيجة موجبة فالنقطة صغرى، وإذا كانت سالبة فهي عظمى. الفخّ: عكس القاعدة، أو عدم ذكر إشارة الناتج صراحة.
- 1d²y/dx² = 6x − 8
- 2At x = 3: 6 × 3 − 8 = 10 > 0, so (3, −18) is a minimum
- 3At x = −1/3: 6 × (−1/3) − 8 = −10 < 0, so (−1/3, 14/27) is a maximum
Answer(3, −18) minimum with reason; (−1/3, 14/27) maximum with reason
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara