حل السؤال 10، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2023: البراهين المتجهية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، معطاة إحداثيات رأسين، ومعطى المتجه الذي يبدأ من الرأس الثالث المجهول وينتهي عند أحد الرأسين المعلومين. المطلوب إحداثيات الرأس الثالث.
كيف تحلّه؟
المتجه يساوي نقطة النهاية مطروحًا منها نقطة البداية، فنقطة البداية تساوي نقطة النهاية مطروحًا منها المتجه. نطرح كل مركّبة من الإحداثي المقابل لها. الخطأ الشائع هو الجمع بدل الطرح، وانتبه أن طرح عدد سالب يصبح جمعًا. الرأس الآخر لا يُستخدم هنا.
- 1→CA = A − C, so C = A − →CA
- 2C = (4 − (−11), 14 − 8) = (15, 6)
Answer(15, 6)
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، معطاة إحداثيات رأسين. المطلوب المتجه الذي يبدأ من الرأس الثاني المذكور وينتهي عند الرأس الأول، انتبه لترتيب الحرفين، ويُكتب متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية، كل إحداثي من نظيره. انتبه لترتيب الطرح، وأن طرح العدد السالب يصبح جمعًا.
- 1→BA = (4 − 1, 14 − (−10)) = column vector (3, 24)
Answercolumn vector (3, 24)
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الخطان العموديان يعنيان «مقدار» المتجه، أي طوله. المطلوب حساب طول المتجه المعطى في السؤال، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية إن لم يكن عددًا صحيحًا.
كيف تحلّه؟
نربّع كل مركّبة من مركّبتي المتجه ونجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي، كما في نظرية فيثاغورس. مربع العدد السالب موجب. نقرّب الناتج لثلاثة أرقام معنوية.
- 1|→CA| = √((−11)² + 8²) = √185
- 2= 13.60… ≈ 13.6
Answer13.6 or 13.60…
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، نقطة الأصل أحد الرؤوس، ومتجها ضلعين معطيان. نقطة على الضلع الثالث تقسمه بنسبة معطاة. «بيّن أن» تعني أن الناتج مكتوب لك، وعليك أن تكتب الخطوات كاملة حتى تصل إليه.
كيف تحلّه؟
نوجد متجه الضلع الثالث بطرح متجه موضع بدايته من متجه موضع نهايته. نأخذ منه الجزء المناسب: الجزء الأول من النسبة على مجموع جزأيها. نضيفه إلى متجه موضع بداية الضلع، ثم نفك الأقواس ونجمع الحدود المتشابهة حتى نصل إلى الصورة المعطاة. لا يكفي كتابة الجواب المعطى، بل يجب إظهار كل سطر.
- 1→MN = −a + b = b − a
- 2→MR = 3/5(b − a)
- 3→OR = a + 3/5(b − a) = 2/5 a + 3/5 b
Answera + 3/5(b − a) or b + 2/5(a − b) leading to 2/5 a + 3/5 b with no errors
الجزء (biia) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، متجها ضلعين من نقطة الأصل معلومان، ونقطة على الضلع الثالث تقسمه بنسبة معطاة. خط مستقيم يمر من نقطة الأصل بهذه النقطة ويمتد إلى نقطة جديدة. معطى متجه نحو النقطة الجديدة فيه مجهول، وأن متجهها من الأصل مضاعف مجهول لمتجه النقطة الأولى. المطلوب «أوجد» قيمتي المجهولين.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه النقطة الجديدة من نقطة الأصل بطريقتين: الأولى بالسير على الضلع ثم على المتجه المعطى، والثانية كمضاعف لمتجه النقطة على الضلع الثالث، الذي نجده من النسبة. نساوي معاملي المتجه الأول في الطريقتين فنجد المضاعف، ثم نساوي معاملي المتجه الثاني ونعوّض فنجد المجهول الآخر.
- 1→OT = →ON + →NT = b + 4a + kb = 4a + (1 + k)b
- 2Also →OT = c(2/5 a + 3/5 b)
- 3a terms: 2/5 c = 4, so c = 10
- 4b terms: 3/5 × 10 = 1 + k, 6 = 1 + k, k = 5
Answerk = 5, c = 10
الجزء (biib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستعمال نتائج الجزء السابق، المطلوب «أوجد» المتجه من الرأس الأول إلى النقطة الجديدة بدلالة المتجهين.
كيف تحلّه؟
نسير من الرأس إلى نقطة الأصل، وهذا عكس المتجه الأول فيأخذ إشارة سالبة. ثم من نقطة الأصل إلى النقطة الجديدة باستعمال المتجه الذي وجدناه في الجزء السابق. نجمع الحدود المتشابهة.
- 1→MT = →MO + →OT = −a + 4a + 6b
- 2= 3a + 6b
Answer3a + 6b
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس البراهين المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة البراهين المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara