حل السؤال 7، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2023: استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث على أرض أفقية، وفوق أحد رؤوسه عمود رأسي نعرف ارتفاعه، ونعرف المسافة الأفقية من رأس آخر إلى قاعدة العمود. المطلوب حساب «زاوية الارتفاع» لقمة العمود من هذا الرأس، أي الزاوية بين الأرض الأفقية والخط الصاعد إلى قمة العمود. زاوية الارتفاع من الرأس الثالث معطاة لكنها لا تلزم هنا.
كيف تحلّه؟
العمود رأسي فهو يصنع زاوية قائمة مع الأرض، فيتكوّن مثلث قائم. ارتفاع العمود مقابل للزاوية المطلوبة، والمسافة الأفقية مجاورة لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه. الفخ الشائع: استعمال المسافة من الرأس الآخر، أو استعمال الجيب بدل الظل.
- 1tan(angle) = 2.8/7.1
- 2Angle of elevation = 21.52… ≈ 21.5°
Answer21.5 or 21.52...
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث قائم الزاوية على أرض أفقية، وعمود رأسي فوق رأس الزاوية القائمة معطى ارتفاعه، ومعطاة زاوية ارتفاع قمة العمود من رأس آخر، ومعطى طول ضلع على الأرض. المطلوب: احسب طول الوتر في المثلث الموجود على الأرض. «زاوية الارتفاع» هي الزاوية التي تنظر بها إلى أعلى من الأرض نحو قمة العمود.
كيف تحلّه؟
في المثلث الرأسي استخدم الظل لإيجاد بعد النقطة على الأرض عن قاعدة العمود: الظل يساوي الارتفاع مقسومًا على هذا البعد. ثم في المثلث الأفقي طبّق نظرية فيثاغورس على هذا البعد والضلع المعطى. احتفظ بالقيمة الوسطى كاملة دون تقريب.
- 1tan 21° = 2.8/PR, so PR = 2.8 ÷ tan 21° = 7.294…
- 2PQ² = 7.294…² + 7.1²
- 3PQ = 10.179… ≈ 10.2 m
Answer10.2 or 10.17 to 10.18
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معلوم في المثلث ضلعان وزاوية لا تقع بينهما. المطلوب: احسب قياس الزاوية المحددة، والسؤال يخبرك أنها «حادة» أي أصغر من تسعين درجة. أظهر خطواتك.
كيف تحلّه؟
نطبّق قاعدة الجيب: الضلع المقابل للزاوية المعلومة على جيبها يساوي الضلع المقابل للزاوية المطلوبة على جيبها. نجد جيب الزاوية المطلوبة ثم نستخدم معكوس الجيب، فالآلة تعطي الزاوية الحادة مباشرة.
- 19.1/sin 32° = 16.7/sin M
- 2sin M = 16.7 × sin 32° ÷ 9.1 = 0.9724…
- 3Angle KML = 76.52… ≈ 76.5°
Answer76.5 or 76.52 to 76.53
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث معلوم فيه ضلعان ومساحته. المطلوب أن «تبيّن» أن الزاوية المحصورة بين الضلعين تساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
نكتب قانون المساحة بدلالة ضلعين والزاوية بينهما ونساويه بالمساحة المعطاة، ثم نحلّ لإيجاد جيب الزاوية، ونستخدم معكوس الجيب. اكتب الناتج بدقة أكبر قبل تقريبه.
- 11/2 × 12.3 × 21.5 × sin BAC = 62.89
- 2sin BAC = 62.89 ÷ 132.225 = 0.47562…
- 3Angle BAC = 28.400… = 28.4° to 1 d.p.
Answer1/2 × 12.3 × 21.5 sin(…) = 62.89 leading to 28.40 to 28.41…
الجزء (cii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معلوم في المثلث ضلعان ومساحته. المطلوب: احسب طول الضلع الثالث، مع إظهار خطواتك. ستحتاج الزاوية بين الضلعين المعلومين التي حسبتها في الجزء السابق من المساحة.
كيف تحلّه؟
المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بينهما، ومنها نعرف هذه الزاوية إن لم تكن حسبتها. ثم نطبّق قاعدة جيب التمام: مربع الضلع المطلوب يساوي مجموع مربعي الضلعين ناقص ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية بينهما. أخيرًا نأخذ الجذر التربيعي.
- 1BC² = 12.3² + 21.5² − 2 × 12.3 × 21.5 × cos 28.4°
- 2BC² = 148.29…
- 3BC = 12.17… ≈ 12.2 cm
Answer12.2 or 12.17 to 12.18
الجزء (ciii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث نعرف طولي ضلعين ومساحته. نمدّ أحد الضلعين إلى نقطة جديدة بحيث يصبح الخط من الرأس الثالث إليها عموديًا عليه. المطلوب حساب طول الامتداد، أي المسافة من نهاية الضلع الأصلي إلى النقطة الجديدة.
كيف تحلّه؟
نستعمل قانون المساحة، نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بينهما، لإيجاد هذه الزاوية. ثم في المثلث القائم الكبير يكون الضلع الأطول وترًا، فنضربه في جيب تمام الزاوية لنحصل على طول القاعدة كاملة حتى النقطة الجديدة. أخيرًا نطرح طول الضلع الأصلي منها. الفخ الشائع: التوقف عند طول القاعدة كاملة ونسيان الطرح، أو تقريب الزاوية كثيرًا قبل المتابعة.
- 1Use the area to find angle A: 1/2 × 21.5 × 12.3 × sin A = 62.89
- 2sin A = 0.4756…, so angle A = 28.4°
- 3Triangle ADC is right-angled: AD = 21.5 × cos 28.4° = 18.91…
- 4BD = AD − AB = 18.91… − 12.3 = 6.61
Answer6.60 to 6.62
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا بالعربي
تدرّب على أسئلة استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara