حل السؤال 10، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2024: المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مستطيل طوله وعرضه بدلالة المجهول، ومساحته معلومة. المطلوب أن «تكوّن معادلة وتحلها» لتُثبت أن المجهول يساوي القيمة المعطاة، فلا يكفي التعويض بالقيمة والتحقق منها.
كيف تحلّه؟
اكتب المساحة على أنها حاصل ضرب الطول في العرض وساوِها بالمساحة المعطاة. فكّ الأقواس وانقل العدد إلى الطرف نفسه ليصبح الطرف الآخر صفرًا. حلّل المعادلة التربيعية إلى قوسين واجعل كل قوس يساوي صفرًا، ثم ارفض القيمة السالبة لأن الطول لا يكون سالبًا. الفخ: التعويض بالقيمة المعطاة فقط، وهذا لا يأخذ الدرجة الكاملة.
- 1(2x + 3)(x + 1) = 190
- 22x² + 5x + 3 = 190
- 32x² + 5x − 187 = 0
- 4(2x − 17)(x + 11) = 0
- 5x = 8.5 or x = −11 (length cannot be negative)
- 6x = 8.5
AnswerLeading to x = 8.5 with no errors
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك مستطيل طوله وعرضه بدلالة س، ومساحته معلومة. المطلوب حساب محيط المستطيل. كلمة «احسب» تعني أن تكتب خطواتك، وستحتاج أولًا إلى إيجاد قيمة س.
كيف تحلّه؟
اكتب المساحة على صورة الطول في العرض واجعلها تساوي المساحة المعطاة، ثم رتّب المعادلة التربيعية وحلّها. ارفض الحل السالب لأن الأطوال موجبة. عوّض بقيمة س في الطول والعرض، ثم احسب المحيط وهو ضعف مجموع الطول والعرض. الخطأ الشائع: التوقف عند قيمة س أو إعطاء المساحة بدل المحيط.
- 1Area: (2x + 3)(x + 1) = 190, so 2x² + 5x − 187 = 0
- 2Solve: x = (−5 + √1521)/4 = (−5 + 39)/4 = 8.5
- 3Perimeter = 2(2x + 3) + 2(x + 1) = 6x + 8
- 46 × 8.5 + 8 = 59 cm
Answer59
الجزء (bi) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري نصف قطره مجهول وزاويته معلومة، ومساحة القطعة المظللة بين الوتر والقوس معلومة. المطلوب «أثبت أن» نصف القطر يساوي القيمة المكتوبة مقرّبة لمنزلة عشرية واحدة، فتكتب كل الخطوات وتُظهر الناتج بدقة أكبر قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
نكتب مساحة القطعة على أنها مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث، وكلتاهما بدلالة مربع نصف القطر، ونساويها بالمساحة المعطاة. نأخذ مربع نصف القطر عاملًا مشتركًا ونقسم، ثم نأخذ الجذر التربيعي ونكتبه بمنازل أكثر قبل التقريب. لا يجوز التعويض بالقيمة المطلوبة للتحقق فقط، بل يجب الوصول إليها.
- 1Sector area = 50/360 × π × r²
- 2Triangle area = 1/2 × r² × sin 50°
- 350/360 × π × r² − 1/2 × r² × sin 50° = 30
- 4r² × 0.05331 = 30, so r² = 562.7…
- 5r = 23.72… = 23.7 cm (1 d.p.)
Answer23.709 to 23.72…
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري معلومة زاويته، وبين الوتر والقوس قطعة مظلّلة معلومة المساحة. المطلوب أن تحسب محيط القطعة المظلّلة، أي طول القوس مضافًا إليه طول الوتر. ستحتاج إلى نصف القطر الذي أوجدته في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
استعمل نصف القطر من الجزء السابق. احسب طول القوس بكسر الزاوية من محيط الدائرة. احسب طول الوتر إما بتنصيف الزاوية واستعمال الجيب في المثلث القائم، وإما بقاعدة جيب التمام في المثلث المتساوي الساقين. اجمع القوس والوتر. الخطأ الشائع إضافة نصفي القطر، وهما ليسا من حدود القطعة.
- 1Chord AB = 2 × 23.7 × sin 25° = 20.03… cm
- 2Arc AB = 50/360 × 2 × π × 23.7 = 20.68… cm
- 3Perimeter = 20.03… + 20.68… = 40.71… ≈ 40.7 cm
Answer40.7 or 40.8 or 40.71 to 40.75…
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara