حل السؤال 10، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2024: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب اشتقاق تعبير المنحنى المعطى، أي إيجاد الدالة التي تعطي ميله عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. حد «س» وحده يصبح معامله فقط. الفخّ: إهمال الإشارات السالبة للحدين الأخيرين.
- 1Rule: xⁿ differentiates to nxⁿ⁻¹.
- 2x³ → 3x², 9x² → 18x, 48x → 48
- 3dy/dx = 3x² − 18x − 48
Answer3x² − 18x − 48
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تكعيبي. المطلوب إحداثيات نقطتي الدوران، أي النقطتين اللتين يكون عندهما الميل صفرًا. يجب إظهار كل خطوات العمل.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر، ثم نقسم على العامل المشترك لتسهيل التحليل. نحلل إلى قوسين فنحصل على قيمتين. نعوّض كل قيمة في المعادلة الأصلية بعناية لأن الأعداد كبيرة، وانتبه لإشارة مكعب العدد السالب.
- 1At turning points 3x² − 18x − 48 = 0
- 2x² − 6x − 16 = 0
- 3(x − 8)(x + 2) = 0, so x = −2 or x = 8
- 4x = −2: y = −8 − 36 + 96 = 52; x = 8: y = 512 − 576 − 384 = −448
- 5(−2, 52) and (8, −448)
Answer(−2, 52) and (8, −448)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى نقطتا التحوّل على المنحنى. المطلوب تحديد هل كل منهما نقطة عظمى أم صغرى، مع ذكر السبب لكل نقطة، فالحكم بلا سبب لا يأخذ الدرجة.
كيف تحلّه؟
نجد المشتقة الثانية بأن نشتق المشتقة الأولى مرة أخرى، ثم نعوّض الإحداثي السيني لكل نقطة. إذا كانت النتيجة سالبة فالنقطة عظمى، وإذا كانت موجبة فهي صغرى. الفخّ: كتابة عبارة خاطئة مع الصحيحة، فهذا يُفقد الدرجة.
- 1d²y/dx² = 6x − 18
- 2At x = −2: 6(−2) − 18 = −30 < 0, so (−2, 52) is a maximum
- 3At x = 8: 6(8) − 18 = 30 > 0, so (8, −448) is a minimum
Answer(−2, 52) maximum with reason and (8, −448) minimum with reason and no incorrect statement
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara