حل السؤال 5، 0606/12 فبراير/مارس 2025: القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة مقدار تربيعي معامل مربع السين فيه اثنان على صورة: عدد ثابت مضروب في مربع قوس، زائد عدد ثابت، أي «إكمال المربع».
كيف تحلّه؟
أخرج معامل مربع السين عاملًا مشتركًا من أول حدّين، ثم أكمل المربع داخل القوس بأخذ نصف معامل السين. اطرح مربع هذا النصف داخل القوس، ثم اضرب في العامل الخارجي واجمع مع الثابت. الخطأ الشائع: نسيان ضرب الحد المطروح في العامل الخارجي.
- 12x² − 2x + 3 = 2(x² − x) + 3
- 2= 2[(x − 1/2)² − 1/4] + 3
- 3= 2(x − 1/2)² + 5/2
Answer2(x − 1/2)² + 5/2
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة نفسها معرّفة لقيم السين الأصغر من أو تساوي عددًا مجهولًا. المطلوب «اكتب» أكبر قيمة لهذا العدد تجعل للدالة دالة عكسية.
كيف تحلّه؟
للدالة عكسية فقط إذا كانت واحدًا لواحد، أي لا يتكرر فيها الناتج. المنحنى قطع مكافئ، فهو واحد لواحد على أحد جانبي رأسه فقط. استخدم صورة إكمال المربع لتحدد سين الرأس؛ فهو أكبر قيمة ممكنة.
- 1The vertex is at x = 1/2
- 2f is one-one for x ≤ 1/2, so p = 1/2
Answer1/2
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام القيمة التي وجدتها للحد الأعلى، المطلوب «اكتب» مدى الدالة، أي كل القيم التي يمكن أن تأخذها.
كيف تحلّه؟
من صورة إكمال المربع: المربع لا يكون سالبًا، فأصغر قيمة للدالة تكون عند الرأس وتساوي الثابت المضاف. والمنحنى يرتفع كلما ابتعدنا عن الرأس. اكتب المدى بدلالة الدالة لا بدلالة السين، فهذا خطأ شائع.
- 1Minimum value of f is 5/2 at x = 1/2
- 2Range f ≥ 5/2
Answerf ≥ 5/2
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد عبارة للدالة العكسية للدالة التربيعية، باستخدام الحد الأعلى نفسه لمجالها.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي صورة إكمال المربع، ثم اعزل المربع وخذ الجذر التربيعي. هنا الفخ الأهم: يجب اختيار الإشارة السالبة للجذر، لأن السين في المجال أصغر من سين الرأس، فما داخل القوس سالب. ثم اعزل السين وبدّل الرمزين.
- 1y = 2(x − 1/2)² + 5/2
- 2(x − 1/2)² = (y − 5/2)/2
- 3x − 1/2 = −√((y − 5/2)/2) (negative root since x ≤ 1/2)
- 4f⁻¹(x) = 1/2 − √((1/2)(x − 5/2))
Answerf⁻¹(x) = 1/2 − √((1/2)(x − 5/2)) or f⁻¹(x) = (2 − √(8x − 20))/4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع بالعربي
تدرّب على أسئلة القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara