حل السؤال 4، 0606/12 أكتوبر/نوفمبر 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» المقدار التربيعي المعطى يمكن كتابته على صورة ضعف مربع قوس زائد ثابت، وأوجد الثابتين.
كيف تحلّه؟
أخرج المعامل اثنين من حدي السين، ثم أكمل المربع داخل القوس بأخذ نصف معامل السين. اطرح مربعه داخل القوس، ثم اضرب في اثنين واجمع مع الثابت. الخطأ الشائع: نسيان ضرب الحد المطروح في المعامل اثنين.
- 12x² + 5x + 3 = 2(x² + (5/2)x) + 3
- 2= 2[(x + 5/4)² − 25/16] + 3
- 3= 2(x + 5/4)² − 25/8 + 3
- 4= 2(x + 5/4)² − 1/8
Answer2(x + 5/4)² − 1/8 (a = 5/4, b = −1/8)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» أي من صورة إكمال المربع، اكتب مباشرة إحداثيي النقطة الثابتة على المنحنى التربيعي نفسه.
كيف تحلّه؟
في صورة إكمال المربع، أصغر قيمة تكون عندما يساوي القوس صفرًا، وعندها تساوي الصاد الثابت الخارجي. الفخ: أخذ إشارة الثابت داخل القوس كما هي للسين.
- 1Minimum of 2(x + 5/4)² − 1/8 is when x + 5/4 = 0
- 2x = −5/4, y = −1/8
Answer(−5/4, −1/8)
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة نفسها معرّفة لقيم السين من ثابت مجهول فأكثر، ولها دالة عكسية. المطلوب أصغر قيمة ممكنة لهذا الثابت.
كيف تحلّه؟
الدالة العكسية تحتاج دالة واحد لواحد، والمنحنى التربيعي يرجع عند رأسه. فيجب أن يبدأ المجال من رأس المنحنى الذي وجدته في الجزء السابق.
- 1f must be one-one, so its domain starts at the vertex
- 2p = −5/4
Answerp = −5/4
الجزء (cii) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
بهذا المجال، ارسم منحنى الدالة ومنحنى دالتها العكسية على المحاور نفسها، واكتب اسم كل منحنى ونقاط تقاطعه مع المحورين.
كيف تحلّه؟
ارسم نصف المنحنى التربيعي من الرأس إلى اليمين. حلّل المقدار لتجد تقاطعه مع المحور الأفقي، واترك الجذر الذي خارج المجال، وعوّض بالصفر للمحور الرأسي. العكسية انعكاس في الخط الذي فيه الصاد تساوي السين، فتتبادل الإحداثيات. الفخ: رسم المنحنى كاملًا، أو عدم تسمية المنحنيين.
- 1f(x) = (2x + 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 (x = −3/2 is outside the domain)
- 2f(0) = 3, so f meets the y-axis at 3
- 3f starts at the vertex (−5/4, −1/8) and increases
- 4f⁻¹ is the reflection of f in y = x
- 5f⁻¹ meets the x-axis at 3 and the y-axis at −1
Answery = f(x): right half of the parabola from its vertex (−5/4, −1/8), crossing the x-axis at x = −1 and the y-axis at y = 3, increasing; y = f⁻¹(x): its reflection in y = x, starting at (−1/8, −5/4), crossing the x-axis at x = 3 and the y-axis at y = −1; each graph labelled
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara