حل السؤال 4، 0606/12 فبراير/مارس 2025: نظرية العامل ونظرية الباقي
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود من الدرجة الثالثة معاملاتها تحتوي على عدد صحيح موجب مجهول، ومعطى أن «اثنين السين زائد واحد» عامل منها. المطلوب إيجاد قيمة هذا العدد المجهول.
كيف تحلّه؟
استخدم نظرية العوامل: إذا كان المقدار عاملًا فإن كثيرة الحدود تساوي صفرًا عند القيمة التي تجعله صفرًا، وهي سالب نصف. عوّض بها وبسّط فتحصل على معادلة في العدد المجهول، ثم خذ الحل الموجب فقط كما يشترط السؤال. احذر من أخطاء إشارة الأسس الفردية للعدد السالب.
- 1p(−1/2) = 0: a²(−1/2)³ + 2a(−1/2)² + a(−1/2) + 2 = 0
- 2−a²/8 + a/2 − a/2 + 2 = 0
- 3a² = 16
- 4a = 4 (a is positive)
Answera = 4
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ حلّل»: بعد إيجاد العدد المجهول في الجزء السابق، المطلوب كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب عواملها.
كيف تحلّه؟
عوّض بالعدد الذي وجدته لتكتب كثيرة الحدود بمعاملات عددية، ثم اقسمها على العامل المعطى بالقسمة المطوّلة أو بمقارنة المعاملات لتجد العامل التربيعي. أخرج العامل المشترك العددي إن وُجد. الفخ: ترك القسمة بلا تحقق، فاضرب العوامل في النهاية لتتأكد.
- 1p(x) = 16x³ + 8x² + 4x + 2
- 2Divide by (2x + 1): quotient 8x² + 2
- 3p(x) = (2x + 1)(8x² + 2) = 2(2x + 1)(4x² + 1)
Answer2(2x + 1)(4x² + 1)
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ بيّن» أن معادلة كثيرة الحدود تساوي صفرًا ليس لها إلا جذر حقيقي واحد، مستفيدًا من التحليل في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل صفرًا. العامل الخطي يعطي جذرًا واحدًا. أما العامل التربيعي فبيّن أنه لا يعطي جذورًا حقيقية، إما بحساب المميّز وإثبات أنه سالب، أو بملاحظة أنه يجعل مربعًا يساوي عددًا سالبًا. لا تكتفِ بالقول، بل اكتب السبب.
- 1p(x) = 0 means 2x + 1 = 0 or 4x² + 1 = 0
- 22x + 1 = 0 gives x = −1/2
- 34x² + 1 = 0: discriminant = 0² − 4(4)(1) = −16 < 0, no real roots
- 4So x = −1/2 is the only real root
Answer4x² + 1 = 0 has no real roots (discriminant 0 − 16 < 0, or 4x² = −1), so the only real root is x = −1/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara