حل السؤال 9، 0606/13 مايو/يونيو 2025: القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 13 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية معامل مربع السين فيها سالب اثنين، معرّفة بين صفر وثلاثة. المطلوب كتابتها على صورة: ثابت زائد ثابت في مربع قوس.
كيف تحلّه؟
أخرج سالب اثنين من حدّي السين، ثم أكمل المربع داخل القوس بنصف معامل السين. اطرح مربعه داخل القوس، ثم اضرب في سالب اثنين واجمع الثوابت. الفخ: أخطاء الإشارة عند الضرب في سالب.
- 1f(x) = −2(x² − (9/2)x) − 10
- 2= −2[(x − 9/4)² − 81/16] − 10
- 3= −2(x − 9/4)² + 81/8 − 10
- 4= 1/8 − 2(x − 9/4)²
Answerf(x) = 1/8 − 2(x − 9/4)²
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ حدّد»: باستخدام صورة إكمال المربع، هل للدالة التربيعية دالة عكسية في مجالها المعطى من صفر إلى ثلاثة أم لا؟
كيف تحلّه؟
من إكمال المربع اقرأ إحداثيي الرأس. إذا وقع الرأس داخل المجال فالمنحنى يصعد ثم ينزل، فتتكرر النواتج وليست الدالة واحدًا لواحد. قارن سين الرأس بحدّي المجال واكتب الاستنتاج مع السبب.
- 1The turning point is at (9/4, 1/8)
- 29/4 lies between 0 and 3
- 3So f is not one-one on 0 ≤ x ≤ 3
- 4f⁻¹ does not exist
Answerf⁻¹ does not exist, because the turning point (9/4, 1/8) lies inside the domain 0 ≤ x ≤ 3 (f is not one-one)
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة ثانية تساوي ثلاثة أمثال لوغاريتم طبيعي لـ«خمسة ناقص ضعف السين»، معرّفة من صفر إلى أقل من اثنين ونصف. المطلوب رسمها مع القيم الدقيقة لنقاط التقاطع ومعادلة خط التقارب.
كيف تحلّه؟
عوّض بالصفر لتجد التقاطع مع محور الصادات واتركه لوغاريتمًا. التقاطع مع محور السينات حيث ما داخل اللوغاريتم يساوي واحدًا. خط التقارب الرأسي حيث ما داخل اللوغاريتم يساوي صفرًا. المنحنى متناقص لأن ما داخل اللوغاريتم يتناقص.
- 1g(0) = 3ln 5, so y-intercept (0, 3ln 5)
- 2g(x) = 0 when 5 − 2x = 1, x = 2, so x-intercept (2, 0)
- 3As x → 2.5, 5 − 2x → 0 and g(x) → −∞: asymptote x = 2.5
- 4g is decreasing throughout
AnswerDecreasing log-type curve for 0 ≤ x < 2.5: starts at (0, 3ln 5) on the y-axis, crosses the x-axis at (2, 0), and tends to −∞ approaching the vertical asymptote x = 2.5
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب عبارة للدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية: ثلاثة أمثال اللوغاريتم الطبيعي لـ«خمسة ناقص ضعف السين».
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي الدالة، اقسم على ثلاثة، ثم حوّل إلى صورة أسية. اعزل السين بنقل الحدود والقسمة على سالب اثنين، ثم بدّل الرمزين.
- 1y = 3ln(5 − 2x), so y/3 = ln(5 − 2x)
- 25 − 2x = e^(y/3)
- 3x = (1/2)(5 − e^(y/3))
- 4g⁻¹(x) = (1/2)(5 − e^(x/3))
Answerg⁻¹(x) = (1/2)(5 − e^(x/3))
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب مجال الدالة العكسية ومداها، وكتابة كل منهما بالصورة الدقيقة، أي دون تقريب اللوغاريتم.
كيف تحلّه؟
مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية، ومداها هو مجال الأصلية. من الرسم السابق: أكبر قيمة للأصلية عند الصفر ولا حد أدنى لها. انتبه لنوع المتباينة عند كل طرف: الطرف المشمول والطرف غير المشمول.
- 1Domain of g⁻¹ = range of g: g(x) ≤ 3ln 5, so x ≤ 3ln 5
- 2Range of g⁻¹ = domain of g: 0 ≤ g⁻¹(x) < 2.5
AnswerDomain x ≤ 3ln 5; range 0 ≤ g⁻¹(x) < 2.5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع بالعربي
تدرّب على أسئلة القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara