حل السؤال 2، 0606/22 فبراير/مارس 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته نصف حاصل ضرب قوس خطي في مربع قوس آخر. المطلوب الإحداثيات السينية للنقاط الثابتة (حيث الميل صفر).
كيف تحلّه؟
اشتق باستخدام قاعدة الضرب، ومشتقة المربع تحتاج قاعدة السلسلة. أخرج القوس المشترك عاملًا لتسهيل الحل، ثم ساوِ المشتقة بالصفر وحلّل. الخطأ الشائع: فك كل الأقواس أولًا فتطول الحسابات وتكثر الأخطاء.
- 1Product rule: dy/dx = (1/2)[2(x + 2)(3 − 2x) − 2(x + 2)²]
- 2= (1/2)(−6x² − 10x + 4) = −(x + 2)(3x − 1)
- 3dy/dx = 0: (x + 2)(3x − 1) = 0
- 4x = −2, x = 1/3
Answerx = −2, x = 1/3
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم المنحنى نفسه، نصف حاصل ضرب القوس الخطي في مربع القوس الآخر، على المحاور، مع كتابة نقاط تقاطعه مع المحورين.
كيف تحلّه؟
نقاط التقاطع مع محور السينات من جعل كل قوس صفرًا؛ والقوس المربّع يعني أن المنحنى يمس المحور هناك ولا يقطعه. التقاطع مع محور الصادات بالتعويض بصفر. الحد الأكبر سالب، فالمنحنى يبدأ من الأعلى يسارًا وينتهي في الأسفل يمينًا. استخدم النقاط الثابتة من الجزء السابق.
- 1y = 0 when 3 − 2x = 0 or x + 2 = 0: x = 1.5 and x = −2 (repeated root, so the curve touches)
- 2x = 0: y = (1/2)(3)(4) = 6
- 3Leading term −x³, so y → −∞ as x → ∞ and y → +∞ as x → −∞
- 4Minimum at (−2, 0), maximum at x = 1/3 in the first quadrant
AnswerNegative cubic: touches the x-axis at x = −2 (minimum), crosses the y-axis at 6, has a maximum in the first quadrant, and crosses the x-axis at x = 1.5 continuing into the fourth quadrant
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب قيم العدد الثابت التي تجعل المنحنى نفسه يساوي هذا الثابت عند ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.
كيف تحلّه؟
فكّر بيانيًا: الجذور هي نقاط تقاطع المنحنى مع خط أفقي على ارتفاع الثابت. يكون التقاطع في ثلاث نقاط عندما يقع الخط بين القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية تمامًا. احسب القيمتين من النقاط الثابتة، واستخدم متباينة صارمة لأن الطرفين يعطيان جذرًا مكررًا.
- 1Maximum value: y at x = 1/3 is (1/2)(7/3)(7/3)² = 343/54
- 2Minimum value: y at x = −2 is 0
- 3The line y = k meets the curve three times when 0 < k < 343/54
Answer0 < k < 343/54 (or 0 < k < 6.35)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara