حل السؤال 8، 0606/12 فبراير/مارس 2026: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى الصاد فيه تساوي السين في العدد النيبيري مرفوعًا إلى «اثنين السين زائد واحد». المطلوب مشتقة الصاد بالنسبة للسين.
كيف تحلّه؟
حاصل ضرب دالتين، فاستخدم قاعدة الضرب. مشتقة الدالة الأسية هي نفسها مضروبة في مشتقة الأس، وهي اثنان. الفخ: نسيان هذا العامل.
- 1d/dx(e^(2x+1)) = 2e^(2x+1)
- 2Product rule: dy/dx = x × 2e^(2x+1) + 1 × e^(2x+1)
- 3dy/dx = 2xe^(2x+1) + e^(2x+1)
Answerdy/dx = 2xe^(2x+1) + e^(2x+1)
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المماس للمنحنى عند السين تساوي نصفًا يقطع المحورين. المطلوب الإحداثيات «الدقيقة» لنقطتي التقاطع مع المحورين.
كيف تحلّه؟
عوّض بنصف في المشتقة لتجد ميل المماس، وفي المعادلة الأصلية لتجد الصاد. اكتب معادلة المماس بصيغة النقطة والميل. ثم ضع السين صفرًا لتجد التقاطع مع محور الصادات، والصاد صفرًا لتجد التقاطع مع محور السينات. اترك العدد النيبيري دون تقريب.
- 1At x = 1/2: dy/dx = 2(1/2)e² + e² = 2e²
- 2At x = 1/2: y = (1/2)e²
- 3L: y − (1/2)e² = 2e²(x − 1/2)
- 4x = 0: y = (1/2)e² − e² = −(1/2)e²
- 5y = 0: x − 1/2 = −1/4, so x = 1/4
Answer(0, −(1/2)e²) and (1/4, 0)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب استخدام إجابة الجزء الأول لإيجاد تكامل السين في العدد النيبيري مرفوعًا إلى الأس نفسه.
كيف تحلّه؟
تكامل المشتقة يعيد الدالة الأصلية. اكتب ذلك، ثم انقل تكامل الحد الأسي وحده إلى الطرف الآخر واحسبه بالقسمة على معامل السين في الأس. ستجد تكامل ضعف المطلوب، فاقسم على اثنين. لا تنسَ ثابت التكامل.
- 1From (a): ∫ (2xe^(2x+1) + e^(2x+1)) dx = xe^(2x+1)
- 2∫ 2xe^(2x+1) dx = xe^(2x+1) − ∫ e^(2x+1) dx
- 3∫ 2xe^(2x+1) dx = xe^(2x+1) − (1/2)e^(2x+1)
- 4∫ xe^(2x+1) dx = (1/2)(xe^(2x+1) − (1/2)e^(2x+1)) + c
Answer(1/2)(xe^(2x+1) − (1/2)e^(2x+1)) + c
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara