حل السؤال 9، 0606/22 فبراير/مارس 2026: حل المعادلات المثلثية
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» مجموع الظل وظل التمام وضعف القاطع يمكن كتابته على صورة كسر: واحد زائد ضعف الجيب، على حاصل ضرب الجيب في جيب التمام.
كيف تحلّه؟
اكتب كل نسبة بدلالة الجيب وجيب التمام، ثم وحّد المقامات بمقام مشترك هو حاصل ضربهما. اجمع البسط، واستخدم المتطابقة: مربع الجيب زائد مربع جيب التمام يساوي واحدًا. اكتب كل خطوة لأن الصورة النهائية معطاة.
- 1tan θ + cot θ + 2 sec θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ + 2/cos θ
- 2= (sin²θ + cos²θ + 2 sin θ)/(sin θ cos θ)
- 3= (1 + 2 sin θ)/(sin θ cos θ), using sin²θ + cos²θ = 1
Answertan θ + cot θ + 2 sec θ = (1 + 2 sin θ)/(sin θ cos θ) shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» حلّ المعادلة نفسها لكن بالزاوية ضعف السين، والمجموع يساوي صفرًا، للزوايا بين سالب مئة وثمانين ومئة وثمانين درجة.
كيف تحلّه؟
من الجزء السابق: الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا، فتحصل على قيمة لجيب ضعف السين. ضاعف حدّي المدى، وأوجد كل الزوايا في المدى الموسّع التي لها هذا الجيب، ثم اقسم على اثنين. الخطأ الشائع: نسيان الحلول في الدورة السالبة.
- 1By (a): (1 + 2 sin 2x)/(sin 2x cos 2x) = 0, so sin 2x = −1/2
- 2−360° ≤ 2x ≤ 360°
- 32x = −150°, −30°, 210°, 330°
- 4x = −75°, −15°, 105°, 165°
Answerx = −75°, −15°, 105°, 165°
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حل معادلة فيها القاطع ومربع الظل لزاوية هي «السين ناقص واحد»، والسين بالراديان بين سالب واحد وثلاثة.
كيف تحلّه؟
استبدل مربع الظل بمربع القاطع ناقص واحد، فتصير المعادلة تربيعية في القاطع. أخرج القاطع عاملًا مشتركًا؛ القاطع لا يساوي صفرًا أبدًا فارفض هذا الحل. حوّل القيمة الباقية إلى جيب تمام. عدّل المدى بطرح واحد من حدّيه، وتذكّر أن جيب التمام يعطي زاوية موجبة ومقابلتها السالبة. ثم أضف واحدًا.
- 1tan²(x − 1) = sec²(x − 1) − 1
- 23 sec(x − 1) − 1 = sec²(x − 1) − 1
- 3sec²(x − 1) − 3 sec(x − 1) = 0, so sec(x − 1) = 3 (sec ≠ 0)
- 4cos(x − 1) = 1/3, with −2 < x − 1 < 2
- 5x − 1 = 1.23 or −1.23
- 6x = 2.23 or x = −0.231
Answerx = −0.231, x = 2.23
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara