حل السؤال 10، 0606/12 مايو/يونيو 2025: الراديان والأقواس والقطاعات
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
شكل مكوّن من قطاعين صغيرين نصف قطرهما معلوم، وقطاع أكبر نصف قطره أربعة أثلاث ذلك وزاويته ثيتا بالراديان. المطلوب مساحة المنطقة المظللة بدلالة نصف القطر وثيتا.
كيف تحلّه؟
من الشكل: المنطقة المظللة هي القطاع الكبير ناقص المثلث الذي رأسه المركز وقاعدته الوتر الواصل بين النقطتين على الدائرة الصغيرة. مساحة القطاع نصف مربع نصف القطر في الزاوية. مساحة المثلث نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بينهما. الفخ: استخدام نصف القطر الكبير للمثلث.
- 1Area of sector OCD = (1/2)(4r/3)²θ = (8/9)r²θ
- 2Area of triangle OBE = (1/2)r² sin θ
- 3Shaded area = (1/2)(4r/3)²θ − (1/2)r² sin θ
Answer(1/2)(4r/3)²θ − (1/2)r² sin θ
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل الثاني المنطقة المظللة هي القطاعان الصغيران والمثلث بينهما. المطلوب محيطها بدلالة نصف القطر وثيتا.
كيف تحلّه؟
القطاعان متساويان، والزوايا الثلاث على المستقيم مجموعها باي، فزاوية كل قطاع صغير نصف «باي ناقص ثيتا». المحيط يتكوّن من نصفي قطر على المستقيم، والقوسين، والوتر. أوجد الوتر بقاعدة جيب التمام. الخطأ الشائع: إضافة أنصاف الأقطار الداخلية إلى المحيط.
- 1Angle BOA = angle EOF = (π − θ)/2
- 2Arc length AB = r(π − θ)/2, so arcs AB + EF = r(π − θ)
- 3BE² = r² + r² − 2r² cos θ, so BE = √(2r²(1 − cos θ)) (= 2r sin(θ/2))
- 4Perimeter = OA + OF + arcs + BE = 2r + r(π − θ) + √(2r²(1 − cos θ))
Answerr(π − θ) + 2r + √(2r²(1 − cos θ))
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الراديان والأقواس والقطاعات بالعربي
تدرّب على أسئلة الراديان والأقواس والقطاعات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara