حل السؤال 9، 0606/12 مايو/يونيو 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تساوي ضعف لوغاريتم طبيعي لمقدار خطي، معرّفة للسين الأكبر من ثابت، ولها دالة عكسية. المطلوب أصغر قيمة ممكنة للثابت.
كيف تحلّه؟
اللوغاريتم معرّف فقط عندما يكون ما بداخله موجبًا. اكتب المتباينة وحلّها، فالحد الناتج هو أصغر قيمة للثابت.
- 1ln needs 3x − 4 > 0
- 2x > 4/3, so least a = 4/3
Answera = 4/3
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام أصغر قيمة للثابت وجدتها في الجزء السابق، المطلوب مدى الدالة اللوغاريتمية، أي كل القيم التي تأخذها.
كيف تحلّه؟
فكّر في سلوك المنحنى: عند الاقتراب من الحد الأدنى للمجال يتجه اللوغاريتم إلى سالب ما لا نهاية، ومع زيادة السين يزيد بلا حدود. استنتج المدى من ذلك.
- 1As x → 4/3 from above, f(x) → −∞; as x → ∞, f(x) → ∞
- 2Range: all real numbers
Answerf(x) ∈ ℝ (all real numbers)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قيمة الثابت نفسها، المطلوب عبارة للدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية، بدلالة السين.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي الدالة، واقسم على اثنين لتعزل اللوغاريتم. حوّل إلى صورة أسية، ثم اعزل السين، وبدّل الرمزين. الفخ: نسيان القسمة على اثنين قبل التحويل.
- 1y = 2ln(3x − 4), so y/2 = ln(3x − 4)
- 23x − 4 = e^(y/2)
- 3x = (4 + e^(y/2))/3
- 4f⁻¹(x) = (4 + e^(x/2))/3
Answerf⁻¹(x) = (4 + e^(x/2))/3
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمعادلة: الدالة تساوي عكسيتها جذران. المطلوب رسم منحنى الدالة ومنحنى عكسيتها على المحاور نفسها، مع تسمية كل منحنى، وكتابة نقاط التقاطع مع المحورين، ومعادلات خطوط التقارب.
كيف تحلّه؟
منحنى الدالة لوغاريتمي متزايد، له خط تقارب رأسي عند حد المجال، ويقطع محور السينات حيث ما داخل اللوغاريتم يساوي واحدًا. المنحنى العكسي انعكاسه في المستقيم الصاد تساوي السين: خط تقاربه أفقي، ويقطع محور الصادات. ارسمهما يتقاطعان مرتين كما يقول السؤال.
- 1f(x) = 0 when 3x − 4 = 1, so x-intercept 5/3; vertical asymptote x = 4/3
- 2f⁻¹(0) = (4 + 1)/3 = 5/3, so y-intercept 5/3; horizontal asymptote y = 4/3
- 3f⁻¹ is the reflection of f in y = x
- 4The curves cross each other twice
Answery = f(x): increasing log curve in the 1st and 4th quadrants, vertical asymptote x = 4/3, crossing the x-axis at 5/3. y = f⁻¹(x): increasing exponential curve in the 1st and 2nd quadrants, horizontal asymptote y = 4/3, crossing the y-axis at 5/3. The two curves are reflections in y = x and intersect twice in the 1st quadrant
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara