حل السؤال 3، 0606/12 مايو/يونيو 2025: الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دائرة معادلتها معطاة بالصورة العامة. المطلوب «بيّن أن» المستقيم المعطى مماس لهذه الدائرة.
كيف تحلّه؟
عوّض بالصاد من معادلة المستقيم في معادلة الدائرة، وفك الأقواس واجمع لتحصل على معادلة تربيعية. المستقيم مماس إذا كان له نقطة تلاقٍ واحدة، أي المميّز يساوي صفرًا. احسب المميّز واكتب الاستنتاج.
- 1Substitute y = 2x − 3: x² + (2x − 3)² − 10x − 4(2x − 3) + 24 = 0
- 25x² − 30x + 45 = 0, i.e. x² − 6x + 9 = 0
- 3Discriminant = (−30)² − 4(5)(45) = 900 − 900 = 0
- 4One repeated root, so the line touches the circle: it is a tangent
AnswerSubstituting gives 5x² − 30x + 45 = 0, discriminant = 0 (one repeated root), so the line is a tangent (shown)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المستقيم الذي بيّنت أنه مماس يمس الدائرة عند نقطة واحدة. المطلوب إحداثيا نقطة التماس هذه.
كيف تحلّه؟
المعادلة التربيعية من الجزء السابق لها جذر مكرر، فهي مربع كامل. حلّها لتجد السين، ثم عوّض في معادلة المستقيم لتجد الصاد.
- 1x² − 6x + 9 = 0 gives (x − 3)² = 0, so x = 3
- 2y = 2(3) − 3 = 3
Answer(3, 3)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب معادلة دائرة جديدة، غير الدائرة الأصلية، مركزها نقطة التماس التي وجدتها، وتمر بنقطة الأصل.
كيف تحلّه؟
نصف القطر هو المسافة بين المركز الجديد ونقطة الأصل، فاحسب مربعه بنظرية فيثاغورس. ثم اكتب المعادلة على الصورة القياسية. لا حاجة لأخذ الجذر، فالمعادلة تحتاج مربع نصف القطر.
- 1Radius = distance from (3, 3) to (0, 0) = √(9 + 9) = 3√2
- 2r² = 18
- 3(x − 3)² + (y − 3)² = 18
Answer(x − 3)² + (y − 3)² = 18
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara