حل السؤال 11، 0606/13 أكتوبر/نوفمبر 2025: الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 13 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 7 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أربعة مستقيمات، اثنان رأسيان واثنان أفقيان، كلها مماسات لدائرة. المطلوب معادلة الدائرة.
كيف تحلّه؟
الدائرة محصورة في مربع تكوّنه المماسات. المركز في منتصف المسافة بين المماسين الرأسيين وبين الأفقيين، ونصف القطر نصف المسافة بين مماسين متوازيين. ثم اكتب معادلة الدائرة بصورة المركز ونصف القطر. الفخ: نسيان تربيع نصف القطر.
- 1The centre is midway between x = 0 and x = 4, and between y = −1 and y = 3: centre (2, 1)
- 2Radius = 4/2 = 2
- 3(x − 2)² + (y − 1)² = 4
Answer(x − 2)² + (y − 1)² = 4
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مستقيم ميله اثنان ويقطع المحور الرأسي عند ثابت مجهول، وهو أيضًا مماس للدائرة. المطلوب «بيّن أن» المعادلة التربيعية المعطاة صحيحة، «ومن ثمّ» أوجد قيم الثابت الممكنة بالصورة الدقيقة.
كيف تحلّه؟
عوّض معادلة المستقيم في معادلة الدائرة وفك الأقواس ورتّب لتصل إلى المعادلة المعطاة. المماس يقطع الدائرة في نقطة واحدة، فالمميّز يساوي صفرًا. هذا يعطي معادلة تربيعية في الثابت، حلّها بالقانون العام وبسّط الجذر. الفخ: جعل المميّز أكبر من الصفر.
- 1(x − 2)² + (2x + a − 1)² = 4
- 2x² − 4x + 4 + 4x² + 4(a − 1)x + (a − 1)² = 4
- 35x² + 4(a − 2)x + (a − 1)² = 0
- 4Tangent so discriminant = 0: 16(a − 2)² − 20(a − 1)² = 0
- 5a² + 6a − 11 = 0
- 6a = −3 ± √20 = −3 ± 2√5
Answer5x² + 4(a − 2)x + (a − 1)² = 0 shown; a = −3 ± √20 (= −3 ± 2√5)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوائر وتقاطعها مع المستقيمات والمماسات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara