حل السؤال 5، 0606/22 مايو/يونيو 2025: التوافيق: عد الاختيارات
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
يُكوَّن عدد من أربعة أرقام من ستة أرقام معطاة بينها الصفر، دون تكرار، ولا يبدأ بالصفر. المطلوب عدد الأعداد الممكنة.
كيف تحلّه؟
ابدأ بالخانة الأولى لأن عليها قيدًا: كل الأرقام إلا الصفر. ثم الخانات الباقية بما بقي من أرقام، مع الصفر الآن، وينقص الاختيار واحدًا في كل خانة. اضرب عدد الاختيارات. الفخ: البدء بستة اختيارات في الخانة الأولى.
- 1First digit: 5 choices (not 0)
- 2Remaining digits: 5 × 4 × 3
- 35 × 5 × 4 × 3 = 300
Answer300
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بنفس الشروط: أرقام من المجموعة المعطاة، بلا تكرار، ولا يبدأ العدد بالصفر. المطلوب عدد الأعداد ذات الأربعة أرقام «الزوجية».
كيف تحلّه؟
الأسهل أن تعدّ الأعداد الفردية ثم تطرحها من الكل. الرقم الفردي الوحيد بين المعطاة هو الخمسة، فالعدد الفردي ينتهي بها. ثبّت الخمسة في آخر خانة، والخانة الأولى لا صفر ولا خمسة، ثم الخانتان الوسطيان مما بقي. اطرح من إجابة الجزء السابق. الفخ: نسيان أن الصفر لا يجوز في الخانة الأولى عند العدّ المباشر.
- 1Odd numbers end in 5: first digit 4 choices (not 0 or 5), then 4 × 3
- 2Ending in 5: 4 × 4 × 3 = 48
- 3Even = 300 − 48 = 252
Answer252
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بنفس الشروط: أرقام من المجموعة المعطاة، بلا تكرار، ولا يبدأ العدد بالصفر. المطلوب عدد الأعداد ذات الأربعة أرقام التي «تقبل القسمة على خمسة».
كيف تحلّه؟
العدد يقبل القسمة على خمسة إذا انتهى بصفر أو خمسة، فقسّم إلى حالتين. إذا انتهى بالصفر فالخانة الأولى لها كل الباقي. إذا انتهى بالخمسة فالخانة الأولى لا صفر ولا خمسة. احسب كل حالة ثم اجمع. الفخ: معاملة الحالتين معاملة واحدة مع أن قيد الخانة الأولى يختلف.
- 1Divisible by 5 means the last digit is 0 or 5
- 2Ends with 0: 5 × 4 × 3 = 60
- 3Ends with 5: 4 × 4 × 3 = 48
- 4Total = 60 + 48 = 108
Answer108
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة فيها العدد ن: العدد ن زائد واحد مضروبًا في عدد طرق اختيار اثني عشر من ن زائد واحد، يساوي ثلاثة وثلاثين في ن ناقص عشرة في عدد طرق اختيار عشرة من ن. المطلوب قيمة ن.
كيف تحلّه؟
اكتب كل عدد طرق اختيار بالمضروب: مضروب الكل على مضروب المختار في مضروب الباقي. اختصر المضروبات المتقاربة: النسبة بين مضروب ن زائد واحد ومضروب ن هي ن زائد واحد، وبين مضروب اثني عشر ومضروب عشرة حاصل ضرب أحد عشر في اثني عشر. ستصل إلى مربع قوس يساوي عددًا، فخذ الجذر الموجب. الفخ: الخطأ في اختصار المضروبات.
- 1ⁿ⁺¹C₁₂ = (n + 1)!/(12!(n − 11)!) and ⁿC₁₀ = n!/(10!(n − 10)!)
- 2(n + 1)(n + 1)!/(12!(n − 11)!) = 33(n − 10)n!/(10!(n − 10)!)
- 3Divide by n!/(10!(n − 11)!): (n + 1)²/(12 × 11) = 33
- 4(n + 1)² = 33 × 12 × 11 = 4356
- 5n + 1 = 66, so n = 65
Answern = 65
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التوافيق: عد الاختيارات بالعربي
تدرّب على أسئلة التوافيق: عد الاختيارات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara