حل السؤال 12، 0606/23 مايو/يونيو 2025: حل المعادلات المثلثية
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة فيها مربع جيب التمام وجيب للزاوية نفسها (ثلاثة أمثال السين زائد عدد)، في فترة محددة بالراديان. المطلوب حل المعادلة: الدالة تساوي صفرًا.
كيف تحلّه؟
استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب، فتصبح معادلة تربيعية في الجيب. حلّلها لقيمتين. احسب مدى الزاوية المركّبة من مدى السين، وابحث عن الزوايا في هذا المدى فقط؛ إحدى القيمتين قد لا تعطي أي حل في المدى. ثم اطرح العدد واقسم على ثلاثة. الفخ: قبول زوايا خارج المدى.
- 115(1 − sin²(3x + 1.5)) + 7sin(3x + 1.5) − 13 = 0
- 215sin²(3x + 1.5) − 7sin(3x + 1.5) − 2 = 0
- 3(5sin(3x + 1.5) + 1)(3sin(3x + 1.5) − 2) = 0
- 40.6 ≤ 3x + 1.5 ≤ 3: sin = −1/5 gives no value; sin = 2/3 gives 3x + 1.5 = 0.7297 or 2.4119
- 5x = −0.257 or x = 0.304
Answerx = −0.257, x = 0.304
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة نفسها في الفترة نفسها. المطلوب سينات نقطتي الثبات على منحناها، أي النقطتين اللتين تكون عندهما المشتقة صفرًا.
كيف تحلّه؟
اشتق الدالة: مربع جيب التمام بقاعدة السلسلة، والجيب يعطي جيب التمام، ولا تنسَ معامل ثلاثة. أخرج جيب التمام عاملًا مشتركًا وساوِ المشتقة بالصفر: إما جيب التمام صفر، وإما القوس الآخر صفر. أوجد الزوايا في مدى الزاوية المركّبة، ثم حوّلها إلى السين. الفخ: القسمة على جيب التمام فيضيع أحد الحلين.
- 1f′(x) = 30cos(3x + 1.5)(−3sin(3x + 1.5)) + 21cos(3x + 1.5)
- 2f′(x) = 3cos(3x + 1.5)(7 − 30sin(3x + 1.5)) = 0
- 3cos(3x + 1.5) = 0: 3x + 1.5 = π/2, x = 0.0236
- 4sin(3x + 1.5) = 7/30: in range 3x + 1.5 = π − 0.2355 = 2.906, x = 0.469
Answerx = 0.0236, x = 0.469
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara