حل السؤال 9، 0606/23 مايو/يونيو 2025: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متتابعة حسابية حدها الأول وآخر حد ومجموع كل حدودها معطاة. حداها الثاني عشر والثامن هما الحد الأول والثاني لمتتابعة هندسية. المطلوب مجموع أول ستة حدود للمتتابعة الهندسية.
كيف تحلّه؟
من قانون المجموع بالحد الأول والأخير أوجد عدد الحدود، ثم من قانون الحد الأخير أوجد الفرق المشترك. احسب الحدين الثاني عشر والثامن. أساس المتتابعة الهندسية هو الحد الثاني على الأول. ثم طبّق قانون مجموع أول ستة حدود. الفخ: قسمة الحد الأول على الثاني فيُقلب الأساس.
- 1(n/2)(9 + 159) = 2604, so n = 31
- 2159 = 9 + 30d, so d = 5
- 3u₁₂ = 9 + 11 × 5 = 64 and u₈ = 9 + 7 × 5 = 44
- 4r = 44/64 = 11/16
- 5S₆ = 64(1 − (11/16)⁶)/(1 − 11/16) ≈ 183
Answer183 (183.2)
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
متتابعة هندسية حدها الأول جيب ثيتا وأساسها جيب تمام ثيتا، وثيتا بين خمس وأربعين ومئة وخمس وثلاثين درجة. المطلوب «بيّن أن» لها مجموعًا إلى ما لا نهاية.
كيف تحلّه؟
شرط وجود المجموع إلى ما لا نهاية أن يكون الأساس بين سالب واحد وواحد. احسب جيب التمام عند طرفي الفترة، ولاحظ أنه محصور بينهما، فهو بعيد عن الواحد وسالبه. اكتب الاستنتاج بوضوح. الفخ: الاكتفاء بالقول إن جيب التمام دائمًا بين سالب واحد وواحد، فهو قد يساوي أحدهما.
- 1cos 45° = 0.707… and cos 135° = −0.707…
- 2So −0.707 ≤ cos θ ≤ 0.707, i.e. −1 < r < 1
- 3|r| < 1, so the sum to infinity exists
Answer−1 < cos θ < 1 for 45° ≤ θ ≤ 135°, so |r| < 1 and the sum to infinity exists
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» هذا المجموع إلى ما لا نهاية يمكن كتابته على صورة قاطع تمام ثيتا زائد ظل تمامها.
كيف تحلّه؟
اكتب المجموع: الجيب على واحد ناقص جيب التمام. اضرب البسط والمقام في واحد زائد جيب التمام، فيصبح المقام واحدًا ناقص مربع جيب التمام، أي مربع الجيب. اختصر جيبًا، ثم قسّم الكسر إلى كسرين لتصل إلى الصورة المطلوبة. الفخ: القفز إلى النتيجة دون إظهار المتطابقة.
- 1S∞ = a/(1 − r) = sin θ/(1 − cos θ)
- 2Multiply by (1 + cos θ)/(1 + cos θ): sin θ(1 + cos θ)/(1 − cos²θ)
- 3= sin θ(1 + cos θ)/sin²θ = (1 + cos θ)/sin θ
- 4= 1/sin θ + cos θ/sin θ = cosec θ + cot θ
AnswerS∞ = cosec θ + cot θ shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara