حل السؤال 11، 0606/21 أكتوبر/نوفمبر 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة نصف قطرها وارتفاعها متغيران، وحجمها معلوم. المطلوب «بيّن أن» مساحتها الكلية، مع القاعدتين، تساوي الصيغة المعطاة بدلالة نصف القطر.
كيف تحلّه؟
من قانون الحجم عبّر عن الارتفاع بدلالة نصف القطر. المساحة الكلية هي مساحتا الدائرتين زائد المساحة الجانبية، وهي محيط القاعدة في الارتفاع. عوّض الارتفاع واختصر. الفخ: نسيان إحدى القاعدتين.
- 1Volume: πr²h = 330, so h = 330/(πr²)
- 2A = 2πr² + 2πrh
- 3A = 2πr² + 2πr × 330/(πr²)
- 4A = 2πr² + 660/r
AnswerA = 2πr² + 660/r shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نصف القطر متغير. المطلوب قيمة نصف القطر التي تعطي قيمة ثابتة للمساحة، وأن «تبيّن» أنها صغرى.
كيف تحلّه؟
اشتق المساحة بالنسبة لنصف القطر، وساوِ المشتقة بالصفر لتحصل على مكعب نصف القطر، ثم خذ الجذر التكعيبي. ثم اشتق مرة ثانية ولاحظ إشارتها لقيم نصف القطر الموجبة، واكتب الاستنتاج. الفخ: عدم ذكر سبب كون النقطة صغرى.
- 1dA/dr = 4πr − 660r⁻²
- 2Stationary: 4πr = 660/r², so r³ = 660/(4π) = 165/π
- 3r = ∛(165/π) = 3.74
- 4d²A/dr² = 4π + 1320/r³
- 5For r > 0 this is positive (= 12π ≈ 37.7 at r = 3.74), so A is a minimum
Answerr = ∛(660/(4π)) = 3.74; d²A/dr² = 4π + 1320/r³ > 0, so minimum
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara