حل السؤال 10، 4024/21 مايو/يونيو 2020: اختيار النسبة المثلثية المناسبة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحقل رباعي يقطعه ممر، ومعلومة أطوال أضلاع المثلث الأول الثلاثة. المطلوب: «أثبت أن» الزاوية المحددة تساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة. اكتب كل خطوة وأظهر قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
بما أن الأضلاع الثلاثة معلومة نطبّق قاعدة جيب التمام: جيب تمام الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين المحيطين بها ناقص مربع الضلع المقابل لها، مقسومًا على ضعف حاصل ضربهما. ثم معكوس جيب التمام، ونكتب الزاوية بمنزلتين أو أكثر قبل التقريب.
- 1750² = 600² + 800² − 2 × 600 × 800 × cos ACB
- 2cos ACB = (600² + 800² − 750²)/(2 × 600 × 800) = 437 500/960 000 = 0.45572…
- 3Angle ACB = 62.888… = 62.9° (1 d.p.)
Answer62.88 to 62.89
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حقل رباعي مقسوم بممر إلى مثلثين. نعرف أطوال أضلاع المثلث الأول الثلاثة، ونعرف المساحة الكلية للحقل، وأن المثلث الثاني قائم الزاوية عند طرف الممر. المطلوب حساب طول الضلع المحدد في المثلث القائم.
كيف تحلّه؟
نجد مساحة المثلث الأول: نستعمل قاعدة جيب التمام لإيجاد إحدى زواياه من الأضلاع الثلاثة، ثم قانون المساحة بنصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية بينهما. نطرح هذه المساحة من مساحة الحقل لنحصل على مساحة المثلث القائم. ثم مساحة المثلث القائم تساوي نصف حاصل ضرب ضلعي الزاوية القائمة، فنقسم المساحة على نصف طول الممر. الفخ الشائع: تقريب الزاوية أو المساحة مبكرًا فيبتعد الناتج النهائي.
- 1Area ABC = 1/2 × 800 × 600 × sin 62.888… = 213 628…
- 2Area ACD = 375 000 − 213 628… = 161 371…
- 31/2 × 800 × AD = 161 371…
- 4AD = 161 371… ÷ 400 = 403.4 m
Answer403 or 403.3 to 403.5
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث القائم داخل الحقل نعرف الآن طولي الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة (أحدهما من الجزء السابق). المطلوب حساب قياس الزاوية المحددة عند الطرف الآخر للممر.
كيف تحلّه؟
بالنسبة للزاوية المطلوبة، الضلع الذي وجدناه في الجزء السابق مقابل لها، والممر مجاور لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه. الفخ الشائع: قلب الكسر فنحصل على الزاوية الحادة الأخرى.
- 1Triangle ACD has a right angle at A.
- 2AD = 403.4 m (from part b) is opposite angle ACD; AC = 800 m is adjacent.
- 3tan ACD = 403.4/800 = 0.504…
- 4ACD = tan⁻¹(0.504…) = 26.76… ≈ 26.8°
Answer26.7 or 26.8 or 26.73 to 26.76
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة تقع على أحد أضلاع المثلث القائم، ومعلوم بُعدها عن رأس الزاوية القائمة. المطلوب: احسب قياس الزاوية المحددة عند هذه النقطة، والسؤال يخبرك أنها «منفرجة». ستحتاج الطول الذي حسبته في جزء سابق من مساحة الحقل.
كيف تحلّه؟
نجد أولًا زاوية عند طرف الممر في المثلث القائم باستخدام الظل، من الضلع الذي حسبته سابقًا والممر. ثم في المثلث الصغير نطبّق قاعدة الجيب لإيجاد جيب الزاوية المطلوبة. الآلة تعطي الزاوية الحادة، فنطرحها من مئة وثمانين للحصول على المنفرجة. الفخ هو التوقف عند الحادة.
- 1From part (b), AD = 403.4…, so tan ACD = 403.4… ÷ 800, giving angle ACD = 26.76…°
- 2Sine rule in triangle AXC: sin AXC/800 = sin 26.76…/500
- 3sin AXC = 800 × sin 26.76… ÷ 500 = 0.7204…, so the acute angle is 46.09…°
- 4Obtuse angle AXC = 180 − 46.09… = 133.9°
Answer133.8 to 134.0…
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس اختيار النسبة المثلثية المناسبة بالعربي
تدرّب على أسئلة اختيار النسبة المثلثية المناسبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara