حل السؤال 22، 4024/23 مايو/يونيو 2025: حجم الهرم
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع، ورأسه فوق مركز القاعدة، وأحرفه الجانبية متساوية. المطلوب كتابة عدد «مستويات التماثل» للهرم. الأطوال المعطاة لا تلزم هنا.
كيف تحلّه؟
كل مستوى تماثل يمر برأس الهرم وبأحد رؤوس القاعدة وبمنتصف الضلع المقابل له. عُدّ عدد رؤوس القاعدة لتعرف عدد هذه المستويات.
- 1One plane through V, each vertex of the base and the midpoint of the opposite side
- 2Number of planes = 3
Answer3
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع، ورأسه فوق نقطة داخل القاعدة. معطى أن هذه النقطة تقسم الخط من منتصف ضلع إلى الرأس المقابل بنسبة معيّنة. «أثبت أن» تعني أن الطول المطلوب معطى لك، وعليك أن تكتب الحساب كاملًا وتُظهر قيمة أدق قبل التقريب إلى منزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
الخط من منتصف ضلع إلى الرأس المقابل في المثلث متساوي الأضلاع عمودي على ذلك الضلع، فاحسب طوله بنظرية فيثاغورس من طول الضلع ونصفه. ثم استخدم النسبة المعطاة: الجزء المطلوب يمثّل جزأين من ثلاثة أجزاء. الفخ: أخذ نصف الخط بدل ثلثيه.
- 1MB² = 34² − 17² = 1156 − 289 = 867
- 2MB = √867 = 29.44…
- 3OB = 2/3 × 29.44… = 19.62… ≈ 19.6 cm
Answer19.62 to 19.63
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع، ورأسه فوق نقطة داخل القاعدة تمامًا، ونعرف طول ضلع القاعدة وطول الأحرف المائلة، ونسبة تقسيم النقطة لأحد المتوسطات. المطلوب حساب الزاوية بين أحد الأحرف المائلة وقاعدة الهرم.
كيف تحلّه؟
الزاوية مع القاعدة هي الزاوية بين الحرف المائل وظله على القاعدة، وظله هو الخط من رأس القاعدة إلى النقطة التي تحت رأس الهرم. نجد طول المتوسط بفيثاغورس من ضلع القاعدة ونصفه، ثم نأخذ ثلثيه بحسب النسبة. في المثلث القائم يكون هذا الطول مجاورًا والحرف المائل وترًا، فنستعمل جيب التمام. الفخ الشائع: أخذ المتوسط كاملًا أو ثلثه بدل ثلثيه.
- 1M is the midpoint of AC, so BM = √(34² − 17²) = √867 = 29.44…
- 2MO : OB = 1 : 2, so OB = 2/3 × 29.44… = 19.63…
- 3Triangle VOB is right-angled: cos VBO = 19.63…/82
- 4Angle VBO = 76.15… ≈ 76.2°
Answer76.1 to 76.2
الجزء (biii) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع معلوم ضلعه، ورأسه فوق نقطة داخل القاعدة، وأطوال الأحرف المائلة متساوية ومعلومة، والنقطة تقسم الخط من منتصف ضلع إلى الرأس المقابل بنسبة معلومة. المطلوب حساب حجم الهرم.
كيف تحلّه؟
نجد طول الخط من منتصف الضلع إلى الرأس المقابل في المثلث المتساوي الأضلاع (بفيثاغورس أو حساب المثلثات)، ثم نأخذ الجزء الذي تحدده النسبة لنحصل على المسافة من النقطة إلى رأس القاعدة. بفيثاغورس مع الحرف المائل نجد ارتفاع الهرم. نحسب مساحة القاعدة بنصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية بينهما، ثم الحجم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. الخطأ الشائع: أخذ الجزء الخطأ من النسبة.
- 1VO = √(82² − 19.62…²) = 79.61…
- 2Base area = 1/2 × 34 × 34 × sin 60° = 500.56…
- 3Volume = 1/3 × 500.56… × 79.61…
- 4= 13284… ≈ 13300 cm³
Answer13300 or 13281 to 13286
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم الهرم بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم الهرم
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara