حل السؤال 9، 4024/21 مايو/يونيو 2020: المخططات الشجرية للأحداث المترابطة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الكيس بلاطات حمراء وبيضاء وزرقاء، وعدد البيضاء مجهول ويُرمز له بحرف «س». نسحب بلاطتين دون إرجاع. المطلوب إكمال الفراغين في مخطط الشجرة بعد سحب بلاطة زرقاء أولًا، وستكون الإجابة بدلالة «س».
كيف تحلّه؟
بعد سحب بلاطة زرقاء يبقى في الكيس عدد أقل بواحد، ولا يتغير عدد الحمراء ولا عدد البيضاء. لذلك احتمال الحمراء هو عددها على العدد المتبقي، واحتمال البيضاء هو «س» على العدد المتبقي. الفخ: إنقاص عدد الحمراء أو البيضاء مع أن المسحوبة زرقاء.
- 1After a blue tile, 9 tiles remain with 4 red and x white
- 2Red = 4/9, White = x/9
Answer4/9, x/9
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نسحب من الكيس بلاطتين دون إرجاع. المطلوب احتمال أن تكون البلاطتان حمراوين. عدد الحمراء معروف، فالإجابة رقم وليست بدلالة «س».
كيف تحلّه؟
احتمال الحمراء الأولى هو عدد الحمراء على العدد الكلي. بعد سحبها ينقص عدد الحمراء والعدد الكلي بواحد، فاحسب احتمال الحمراء الثانية واضرب الاحتمالين. يمكنك قراءة الفرعين مباشرة من مخطط الشجرة.
- 1P(red, red) = 4/10 × 3/9 = 12/90
Answer12/90
الجزء (ci) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
عدد البيضاء مجهول ويرمز له «س»، والباقي أزرق. «أثبت أن» تعني أن الناتج معطى لك، وعليك أن تُظهر كل الخطوات التي توصلك إليه تمامًا. المطلوب إثبات العبارة المعطاة لاحتمال أن تكون البلاطتان من اللون نفسه.
كيف تحلّه؟
اللون نفسه يعني: حمراوان، أو بيضاوان، أو زرقاوان. احسب احتمال كل حالة من مخطط الشجرة بضرب فرعيها، وستظهر «س» في حالتي الأبيض والأزرق. افتح الأقواس، واجمع الحالات الثلاث على مقام مشترك، ثم اختصر الكسر حتى يطابق العبارة المعطاة. الفخ: خطأ في الإشارات عند فك قوسي الأزرق، أو تخطي خطوات في سؤال إثبات.
- 1P(R, R) = 4/10 × 3/9 = 12/90
- 2P(W, W) = x/10 × (x − 1)/9 = (x² − x)/90
- 3P(B, B) = (6 − x)/10 × (5 − x)/9 = (30 − 11x + x²)/90
- 4Total = (12 + x² − x + 30 − 11x + x²)/90 = (2x² − 12x + 42)/90
- 5= (x² − 6x + 21)/45
Answer(12+ x²− x +30−11x + x²)/90 leading to (x²−6x + 21)/45
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قيمة احتمال أن تكون البلاطتان من اللون نفسه. «أثبت أن» تعني أن تُظهر الخطوات التي تصل بك إلى المعادلة المعطاة تمامًا.
كيف تحلّه؟
ساوِ العبارة التي أثبتّها في الجزء السابق بالقيمة المعطاة. بما أن المقامين متساويان، ساوِ البسطين، ثم انقل الحد الثابت إلى طرف واحد لتحصل على المعادلة المطلوبة.
- 1(x² − 6x + 21)/45 = 16/45
- 2x² − 6x + 21 = 16
- 3x² − 6x + 5 = 0
Answer(x² − 6x + 21)/45 = 16/45 leading to x² − 6x + 5 = 0 with no errors
الجزء (ciii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية المعطاة وأوجد قيمتي س، حيث س هنا عدد البلاطات البيضاء في الكيس.
كيف تحلّه؟
ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت ومجموعهما يساوي معامل س، واكتب المعادلة كحاصل ضرب قوسين. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه أن العددين سالبان داخل القوسين، فيكون الحلّان موجبين.
- 1(x − 5)(x − 1) = 0
- 2x = 5 and x = 1
Answer5 and 1
الجزء (civ) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في كيس بلاطات حمراء وبيضاء وزرقاء، وعدد البيضاء «س». حللتَ في الجزء السابق معادلة أعطت قيمتين لـ«س»، والمعلومة الجديدة أن البلاطات الحمراء أكثر من البيضاء. المطلوب: احتمال أن تكون أول بلاطة مسحوبة زرقاء.
كيف تحلّه؟
استعمل شرط أن الحمراء أكثر من البيضاء لتختار القيمة المناسبة لـ«س» وترفض الأخرى. اطرح عدد الحمراء والبيضاء من العدد الكلي لتجد عدد الزرقاء. احتمال أن تكون الأولى زرقاء هو عدد الزرقاء على العدد الكلي، ولا يؤثر عدم الإعادة في السحبة الأولى.
- 1From part (c), x² − 6x + 5 = 0, so (x − 1)(x − 5) = 0
- 2x = 1 or x = 5; more red (4) than white, so x = 1
- 3Blue tiles = 10 − 4 − 1 = 5
- 4P(first tile blue) = 5/10
Answer5/10
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المخططات الشجرية للأحداث المترابطة بالعربي
تدرّب على أسئلة المخططات الشجرية للأحداث المترابطة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara