حل السؤال 7، 4024/22 مايو/يونيو 2020: الدوال الأسية
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطي بعض قيم ص للدالة: ص تساوي أربعة أُس س، وفيه خانتان فارغتان. أكمل الجدول.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة س في الدالة. أي عدد أُس صفر يساوي واحدًا، والأُس نصف يعني الجذر التربيعي للعدد. الخطأ الشائع: اعتبار أُس النصف قسمة على اثنين.
- 14⁰ = 1
- 24⁰.5 = √4 = 2
Answer1, 2
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم منحنى الدالة على الشبكة في المدى المحدد لقيم س، مستخدمًا قيم الجدول بعد إكماله. «ارسم» هنا تعني رسمًا دقيقًا بتعيين النقاط.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقاط الجدول بدقة، مع الانتباه لمقياس محور الصادات. صِل بينها بمنحنى أملس متزايد باليد، دون مسطرة ودون قطع مستقيمة بين النقاط.
- 1Plot (0, 1), (0.5, 2), (1, 4), (1.5, 8), (2, 16), (2.5, 32), (3, 64)
- 2Join with a smooth curve
AnswerCorrect curve
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
قدّر ميل المنحنى عند القيمة المحددة لـ«س» برسم مماس. «المماس» خط مستقيم يلمس المنحنى عند نقطة واحدة فقط، و«قدّر» تعني أن الجواب تقريبي ويُقبل ضمن مدى.
كيف تحلّه؟
ارسم بالمسطرة مماسًا يلمس المنحنى عند النقطة المطلوبة دون أن يقطعه. اختر نقطتين متباعدتين على المماس، ثم اقسم التغير الرأسي على التغير الأفقي. انتبه إلى أن مقياسي المحورين مختلفان جدًا، فاقرأ القيم بالوحدات لا بعدد المربعات.
- 1Draw the tangent at (2, 16)
- 2Gradient = rise ÷ run from two points on the tangent
- 3≈ 22 (exact value 16 ln 4 = 22.18…)
Answer18 to 27
الجزء (aiva) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حلول المعادلة الأسية المعطاة، وفيها ثابتان مجهولان يرمز لهما بالحرفين أ و ب، هي نقاط تقاطع المنحنى الأسي مع خط مستقيم معطاة معادلته. المطلوب إيجاد قيمتي الثابتين.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلة المنحنى بمعادلة الخط، ثم اضرب الطرفين في العدد الذي يجعل الحد الأسي مماثلًا لما في المعادلة المعطاة. انقل كل الحدود إلى طرف واحد ليصبح الطرف الآخر صفرًا، ثم قارن المعاملات لتقرأ الثابتين. الخطأ الشائع نسيان تغيير الإشارة عند نقل الحدود.
- 14ˣ = 20x − 12
- 23(4ˣ) = 60x − 36
- 33(4ˣ) − 60x + 36 = 0
- 4a = −60, b = 36
Answera = −60, b = 36
الجزء (aivb) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن ترسم الخط المستقيم المعطاة معادلته على الشبكة، ثم تستخدم نقاط تقاطعه مع المنحنى الأسي لإيجاد كل حلول المعادلة.
كيف تحلّه؟
ارسم الخط بالمسطرة بتعيين نقطتين عليه بعيدتين عن بعضهما، مثل نقطة قطعه لمحور السينات ونقطة عند طرف الشبكة. ثم حدّد نقاط تقاطعه مع المنحنى واقرأ قيمة س لكل منها. هناك حلان، فلا تكتفِ بواحد.
- 1Draw y = 20x − 12 through (0.6, 0) and (3, 48)
- 2Read the x-coordinates where it crosses y = 4ˣ
- 3x ≈ 0.74 and x ≈ 2.69
Answer0.7 to 0.8, 2.65 to 2.75
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك رسم تقريبي لمنحنى دالة تربيعية بشكل قوس مقلوب، ومعلوم أين يقطع المحورين. المطلوب إيجاد إحداثيي النقطة العظمى للمنحنى.
كيف تحلّه؟
الإحداثي السيني للنقطة العظمى يقع في منتصف المسافة بين نقطتي تقاطع المنحنى مع المحور السيني، بسبب التماثل. اكتب معادلة المنحنى من جذريه، وتحقق منها بنقطة تقاطعه مع المحور الصادي. ثم عوّض الإحداثي السيني في المعادلة لتحصل على القيمة العظمى.
- 1Roots −2 and 4: y = (4 − x)(x + 2)
- 2Maximum is halfway between the roots: p = (−2 + 4)/2 = 1
- 3q = (4 − 1)(1 + 2) = 9
- 4p = 1, q = 9
Answerp = 1, q = 9
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال الأسية بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال الأسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara