حل السؤال 8، 4024/21 مايو/يونيو 2024: الدوال الأسية
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أكمل جدول القيم للدالة: ص تساوي اثنين أُس س مقسومًا على خمسة. توجد خانة واحدة فارغة.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة س: احسب اثنين مرفوعًا إلى القوة أولًا ثم اقسم على خمسة. لاحظ أن كل قيمة ضعف السابقة، فاستخدم ذلك للتحقق من جوابك.
- 1x = 5: y = 2⁵/5 = 32/5 = 6.4
Answer6.4
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم منحنى الدالة على الشبكة في المدى المحدد لقيم س، مستخدمًا قيم الجدول بعد إكماله. «ارسم» هنا تعني رسمًا دقيقًا بتعيين النقاط.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقاط الجدول بدقة. صِل بينها بمنحنى أملس متزايد باليد يزداد انحداره نحو اليمين، دون مسطرة ودون قطع مستقيمة بين النقاط.
- 1Plot (0, 0.2), (1, 0.4), (2, 0.8), (3, 1.6), (4, 3.2), (5, 6.4)
- 2Join with a smooth increasing curve, getting steeper to the right
AnswerCorrect smooth curve
الجزء (aiiia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لدينا معادلة فيها العدد اثنان مرفوعًا لأس يحتوي س. عبارة «بيّن أن» تعني أن النتيجة المطلوبة معطاة لك، وعليك أن تُثبت بالخطوات أن الكسر المذكور يساوي القيمة المعطاة، لا أن تحسب س.
كيف تحلّه؟
نفصل القوة باستخدام قاعدة ضرب القوى: اثنان أس مجموع يساوي حاصل ضرب قوتين. نحسب القوة المعلومة، ثم نقسم الطرفين عليها لنجد قيمة اثنين أس س. بعدها نقسم هذه القيمة على العدد المطلوب ونبسّط لنصل إلى النتيجة المعطاة. يجب أن تظهر كل خطوة لأن السؤال يطلب الإثبات.
- 12ˣ⁺³ = 2ˣ × 2³ = 8 × 2ˣ
- 28 × 2ˣ = 100, so 2ˣ = 100/8 = 12.5
- 32ˣ/5 = 12.5/5 = 5/2
Answer2ˣ/5 = 5/2 shown
الجزء (aiiib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
السؤال أعاد ترتيب المعادلة الأسية لتصبح على صورة معادلة المنحنى الذي رسمته تساوي عددًا. المطلوب حل المعادلة الأصلية برسم خط مناسب على الشبكة وقراءة الحل.
كيف تحلّه؟
بما أن الطرف الأيسر بعد إعادة الترتيب هو معادلة المنحنى، فارسم خطًا أفقيًا عند العدد الموجود في الطرف الأيمن. ثم حدّد نقطة تقاطعه مع المنحنى، وانزل إلى محور السينات واقرأ قيمة س. هذه القيمة هي حل المعادلة الأصلية أيضًا.
- 1From (iii)(a), solve 2ˣ/5 = 2.5
- 2Draw the horizontal line y = 2.5
- 3It meets the curve at x ≈ 3.6
Answer3.5 to 3.8
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يعرض الشكل رسمًا تقريبيًا لمنحنى تربيعي على شكل قبة، فيه ثابتان مجهولان. المنحنى يقطع محور الصادات عند قيمة ظاهرة على الرسم، ويقطع محور السينات عند أعداد صحيحة. المطلوب أن تجد قيمة كل من الثابتين.
كيف تحلّه؟
عوّض س بصفر، فتجد أن الثابت الأول هو نقطة التقاطع مع محور الصادات. بعد ذلك فكّر في الجذرين: هما عددان صحيحان، أحدهما سالب والآخر موجب، وحاصل ضربهما مرتبط بالثابت الأول، والجذر الموجب أبعد عن الأصل كما في الرسم. اكتب الدالة في صورة قوسين مع إشارة سالبة أمامهما، ثم افتح الأقواس وقارن معامل س. الخطأ الشائع هو نسيان الإشارة السالبة أمام الأقواس.
- 1y-intercept is 7, so a = 7
- 2Roots are integers with product −7 (one negative, one positive further right): x = −1 and x = 7
- 3y = −(x + 1)(x − 7) = −(x² − 6x − 7) = 7 + 6x − x²
- 4b = 6
Answera = 7, b = 6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال الأسية بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال الأسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara