حل السؤال 4، 4024/22 مايو/يونيو 2023: الدوال الأسية
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أكمل جدول القيم للدالة: ص تساوي اثنين أُس س مقسومًا على خمسة. توجد خانة واحدة فارغة.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة س: احسب اثنين مرفوعًا إلى القوة أولًا، ثم اقسم الناتج على خمسة. لاحظ أن كل قيمة في الجدول ضعف التي قبلها، وهذا يساعدك على التحقق.
- 1y = 2⁴/5 = 16/5 = 3.2
Answer3.2
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم منحنى الدالة على الشبكة في المدى المحدد لقيم س، مستخدمًا قيم الجدول. «ارسم» هنا تعني رسمًا دقيقًا بتعيين النقاط.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقاط الجدول بدقة على الشبكة. صِل بينها بمنحنى أملس متزايد باليد، دون مسطرة ودون قطع مستقيمة بين النقاط، ويزداد انحداره نحو اليمين.
- 1Plot (−1, 0.1), (0, 0.2), (1, 0.4), (2, 0.8), (3, 1.6), (4, 3.2)
- 2Join with a smooth curve
AnswerCorrect smooth curve
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حل المعادلة: اثنان أُس س يساوي ستة، وذلك برسم خط مناسب على الشبكة نفسها. «برسم خط مناسب» يعني أن الحل يُقرأ من تقاطع خط مع المنحنى، لا بالحساب.
كيف تحلّه؟
حوّل المعادلة لتشبه معادلة المنحنى: اقسم الطرفين على خمسة، فيظهر لك العدد الذي تساويه ص. ارسم خطًا أفقيًا عند هذه القيمة، ثم اقرأ قيمة س عند نقطة تقاطعه مع المنحنى. الخطأ الشائع: رسم الخط الأفقي عند ستة مباشرة دون القسمة على خمسة.
- 12ˣ = 6 means 2ˣ/5 = 6/5 = 1.2
- 2Draw the line y = 1.2 and read x where it meets the curve
- 3x ≈ 2.6 (exact value 2.58…)
Answer2.5 to 2.7
الجزء (di) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أكمل جدول القيم للمعادلة: أربعة ص يساوي اثنين س زائد واحد، أي أوجد قيم ص الناقصة المقابلة لقيم س في الجدول.
كيف تحلّه؟
عوِّض بقيمة س في الطرف الأيمن: اضربها في اثنين ثم أضف واحدًا. الناتج يساوي أربعة أمثال ص، فاقسمه على أربعة لتحصل على ص. الخطأ الشائع: نسيان القسمة على أربعة، أو الخطأ في الإشارة عند القيمة السالبة.
- 1x = −1: 4y = −2 + 1 = −1, y = −0.25
- 2x = 2: 4y = 4 + 1 = 5, y = 1.25
Answer−0.25, 1.25
الجزء (dii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
على الشبكة التي رسمت عليها المنحنى، ارسم التمثيل البياني للمعادلة: أربعة ص يساوي اثنين س زائد واحد، لقيم س من سالب واحد إلى أربعة.
كيف تحلّه؟
عيِّن النقاط من الجدول الذي أكملته، مع الانتباه إلى أن قيم ص كسور عشرية تقع بين خطوط الشبكة. صِلها بخط مستقيم بالمسطرة يبدأ عند أصغر قيمة لـ س وينتهي عند أكبرها. هذا الخط يُستعمل عادة بعد ذلك لإيجاد نقاط تقاطعه مع المنحنى.
- 1Plot (−1, −0.25), (2, 1.25), (4, 2.25)
- 2Rule a straight line from (−1, −0.25) to (4, 2.25)
AnswerRuled line from (−1, −0.25) to (4, 2.25)
الجزء (diii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع الخط المستقيم المعطاة معادلته مع المنحنى الأسي، باستخدام الرسم.
كيف تحلّه؟
اجعل ص وحدها في معادلة الخط بقسمة الطرفين على معاملها، ثم ارسم الخط بتعيين نقطتين عليه. حدّد نقطتي تقاطعه مع المنحنى واقرأ قيمة س لكل منهما. أحد الحلين قريب جدًا من الصفر وسالب، فاقرأه بعناية.
- 1Read the x-coordinates where the line meets the curve
- 2x ≈ −0.14 and x ≈ 3.2
Answer−0.25 to −0.05, 3.1 to 3.3
الجزء (div) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قيم س عند نقاط تقاطع الخط مع المنحنى الأسي هي حلول معادلة فيها ثلاثة ثوابت صحيحة يرمز لها بالحروف أ و ب و ج. المطلوب استخدام معادلتي الخط والمنحنى لإيجاد القيم الدقيقة لهذه الثوابت.
كيف تحلّه؟
اجعل ص وحدها في معادلة الخط، ثم ساوِها بمعادلة المنحنى. اضرب الطرفين في المضاعف المشترك للمقامات للتخلص من الكسور، ثم انقل كل الحدود إلى طرف واحد ليصبح الطرف الآخر صفرًا، وقارن المعاملات. الخطأ الشائع نسيان توزيع الضرب على كل حدود القوس.
- 1From the line: y = (2x + 1)/4
- 22ˣ/5 = (2x + 1)/4
- 34 × 2ˣ = 5(2x + 1) = 10x + 5
- 44 × 2ˣ − 10x − 5 = 0
- 5A = 4, B = −10, C = −5
AnswerA = 4, B = −10, C = −5 OR A = −4, B = 10, C = 5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال الأسية بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال الأسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara