حل السؤال 5، 4024/21 مايو/يونيو 2023: مخططات فن ثلاثية المجموعات
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المجموعة الشاملة أعداد من واحد إلى اثني عشر. المجموعات: مضاعفات ثلاثة، والأعداد الفردية، وعوامل أربعة وعشرين. بعض الأعداد مكتوب في الشكل مسبقًا. المطلوب إكمال شكل فن بكتابة كل عدد باقٍ في منطقته.
كيف تحلّه؟
نكتب عناصر كل مجموعة. نضع في الوسط ما ينتمي إلى الثلاث، ثم ما ينتمي إلى كل مجموعتين فقط، ثم ما يخص مجموعة واحدة، والعدد الذي لا ينتمي إلى أي منها خارج الدوائر. الخطأ الشائع: نسيان أن الواحد عامل لكل عدد، أو ترك منطقة فارغة دون التأكد.
- 1P = {3, 6, 9, 12}, Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
- 2P ∩ Q ∩ R: 3; P ∩ R only: 6, 12; P ∩ Q only: 9; P only: none
- 3Q ∩ R only: 1; Q only: 5, 7, 11; R only: 2, 4, 8
- 4Outside the circles: 10
AnswerP only: none Q only: 5, 7, 11 R only: 2, 4, 8 P ∩ Q only: 9 P ∩ R only: 6, 12 Q ∩ R only: 1 P ∩ Q ∩ R: 3 Outside the circles: 10
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام المجموعات نفسها، المطلوب عدد عناصر متممة المجموعة الثالثة، أي عدد الأعداد في المجموعة الشاملة التي ليست من عوامل أربعة وعشرين.
كيف تحلّه؟
نعدّ عناصر المجموعة الثالثة، ثم نطرحه من عدد عناصر المجموعة الشاملة. أو نعدّ مباشرة الأعداد التي ليست عوامل. الخطأ الشائع: إعطاء عدد عناصر المجموعة نفسها بدل متممتها.
- 1n(R) = 7
- 2n(R′) = 12 − 7 = 5
Answer5
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المجموعة الأولى مضاعفات ثلاثة، والثانية الأعداد الفردية، والثالثة عوامل أربعة وعشرين، ضمن المجموعة الشاملة. المطلوب سرد عناصر تقاطع اتحاد الأولى والثالثة مع الأعداد الفردية.
كيف تحلّه؟
اكتب عناصر مضاعفات ثلاثة وعوامل أربعة وعشرين ضمن المجموعة الشاملة. اجمعهما في اتحاد واحد دون تكرار. من هذا الاتحاد اختر الأعداد الفردية فقط. تذكر أن الواحد فردي ومن عوامل كل عدد.
- 1P ∪ R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}
- 2Odd ones: (P ∪ R) ∩ Q = {1, 3, 9}
Answer1, 3, 9
الجزء (aiv) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
صِف بالكلمات نوع الأعداد في تقاطع مضاعفات ثلاثة مع عوامل أربعة وعشرين مع متممة الأعداد الفردية. «صِف بالكلمات» يعني أن تعطي اسمًا لنوع هذه الأعداد، لا أن تسردها فقط.
كيف تحلّه؟
متممة الأعداد الفردية هي الأعداد الزوجية. اكتب الأعداد التي هي مضاعفات لثلاثة وزوجية وعوامل لأربعة وعشرين في الوقت نفسه. انظر إلى ما يجمع هذه الأعداد: العدد الزوجي الذي هو مضاعف لثلاثة يكون مضاعفًا لعدد معين، فاذكر هذا الوصف.
- 1P ∩ R ∩ Q′ = {6, 12}: even multiples of 3
- 2Multiples of 6
AnswerMultiples of 6
الجزء (av) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت مجموعة شاملة من الأعداد، ومجموعة فرعية هي عوامل العدد أربعة وعشرين الموجودة في المجموعة الشاملة. يُختار عدد عشوائيًا من هذه المجموعة الفرعية. المطلوب: احتمال أن يكون هذا العدد من مضاعفات الثلاثة.
كيف تحلّه؟
اكتب عناصر مجموعة العوامل من المجموعة الشاملة فقط وعُدّها، فهذا هو المقام. ثم عُدّ منها الأعداد التي تقبل القسمة على ثلاثة، فهذا هو البسط. الخطأ الشائع: إدخال عامل غير موجود في المجموعة الشاملة، أو نسيان الواحد.
- 1R = factors of 24 in ℰ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, so 7 numbers.
- 2Multiples of 3 in R: 3, 6, 12 — that is 3 numbers.
- 3P(multiple of 3) = 3/7
Answer3/7
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
عددان مكتوبان كحاصل ضرب عوامل أولية، وبعض القوى فيها مجهولان «س» و«ص». أُعطيت المضاعف المشترك الأصغر للعددين. المطلوب إيجاد قيمة «س» وقيمة «ص».
كيف تحلّه؟
في المضاعف المشترك الأصغر تظهر قوة كل عامل أولي مساوية للقوة الأكبر بين العددين. قارن قوة كل عامل في المضاعف بقوتيه في العددين لتعرف أيّ عدد أعطى القوة الأكبر، ثم كوّن معادلة. حلّ المعادلة الأولى لتجد «س» ثم عوّض في الثانية لتجد «ص». انتبه أن قيمة المجهول قد تكون سالبة.
- 1LCM power of 2: 2x = 8, so x = 4
- 2LCM power of 3 is 6 and M has 3⁴, so x − y = 6
- 34 − y = 6, so y = −2
- 4x = 4, y = −2
Answerx = 4, y = −2
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك عددان مكتوبان على صورة حاصل ضرب عوامل أولية، وفي القوى مجهولان، ومعطى «المضاعف المشترك الأصغر» لهما. مطلوب منك إيجاد «أكبر عدد مربّع» يقسم العدد الأول، أي أكبر مربع كامل هو عامل من عوامله.
كيف تحلّه؟
استخدم المضاعف المشترك الأصغر لتعرف قيمة المجهول في قوة العامل الأول، فتكتب العدد الأول كاملًا. العدد المربع تكون كل قواه زوجية، فخذ من كل عامل أكبر قوة زوجية لا تتجاوز قوته في العدد، واستبعد العوامل ذات القوة الفردية الواحدة. ثم اضرب الناتج. الفخ الشائع إدخال العاملين ذوي القوة الفردية.
- 1M = 2⁸ × 3⁴ × 5 × 7
- 2Largest square factor = 2⁸ × 3⁴ = 256 × 81 = 20 736
Answer20736
الجزء (biii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام العددين نفسيهما بعد معرفة المجهولين، المطلوب إيجاد «العامل المشترك الأكبر» لهما. اكتب الجواب على صورة حاصل ضرب عوامل أولية.
كيف تحلّه؟
عوّض قيمتي المجهولين لتكتب العدد الثاني بقوى معروفة. ثم خذ كل عامل أولي مشترك بين العددين بالقوة الأصغر، وأهمل العامل الذي يظهر في عدد واحد فقط. اترك الجواب بالقوى دون حساب الناتج.
- 1N = 2³ × 3⁶ × 5²
- 2HCF takes the lower power of each prime: 2³, 3⁴, 5¹
- 3HCF = 2³ × 3⁴ × 5
Answer2³ × 3⁴ × 5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس مخططات فن ثلاثية المجموعات بالعربي
تدرّب على أسئلة مخططات فن ثلاثية المجموعات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara