حل السؤال 7، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2020: المثلثات المتشابهة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل جزء من مضلع منتظم عدد أضلاعه مجهول «ن»، ومستقيم متقطع يصل بين رأسين ويصنع زاويتين معلومتين مع ضلعين. المطلوب إيجاد قيمة «ن»، مع عرض خطواتك.
كيف تحلّه؟
المستقيم المتقطع يوازي الضلع المقابل له، فالزاوية المعلومة والزاوية الداخلية للمضلع عند الرأس المجاور زاويتان متحالفتان مجموعهما مئة وثمانون. نجد بذلك الزاوية الداخلية، ثم الزاوية الخارجية، ثم نقسم ثلاثمئة وستين على الزاوية الخارجية لنجد «ن».
- 1CF is parallel to DE, so angle CDE = 180 − 24 = 156° (co-interior angles)
- 2Exterior angle = 180 − 156 = 24°
- 3n = 360 ÷ 24 = 15
Answer15
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المضلع المنتظم نفسه، المطلوب إيجاد قياس الزاوية المحددة بثلاثة رؤوس متتالية في الشكل، وهي زاوية في مثلث يتكوّن من ضلعين للمضلع والمستقيم الواصل بين طرفيهما، مع عرض خطواتك.
كيف تحلّه؟
المثلث المتكوّن متساوي الساقين لأن أضلاع المضلع المنتظم متساوية، وزاوية رأسه هي الزاوية الداخلية للمضلع. نطرح الزاوية الداخلية من مئة وثمانين، ثم نقسم الباقي على اثنين لأن زاويتي القاعدة متساويتان.
- 1Triangle FGH is isosceles (FG = GH) with angle FGH = 156°
- 22 × angle HFG + 156 = 180
- 3Angle HFG = 24 ÷ 2 = 12°
Answer12°
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في متوازي الأضلاع قطعة توازي أحد الضلعين وتقطع القطر في نقطة. المطلوب «أثبت» أن المثلث الكبير المكوّن من ضلعين والقطر يشابه المثلث الصغير عند الرأس نفسه، مع «ذكر سبب لكل عبارة».
كيف تحلّه؟
الزاوية عند الرأس المشترك هي نفسها في المثلثين. والقطعة الداخلية توازي الضلع المقابل في متوازي الأضلاع، فالزاويتان الأخريان في المثلث الصغير تساويان نظيرتيهما في الكبير لأنهما زاويتان متناظرتان. الزوايا الثلاث متساوية فالمثلثان متشابهان. الفخ الشائع هو إهمال ذكر التوازي سببًا.
- 1Angle PQS = angle TQX (common angle)
- 2Angle PSQ = angle TXQ (corresponding angles, TU parallel to PS)
- 3Angle SPQ = angle XTQ (corresponding angles, TU parallel to PS)
- 4All three angles equal, so triangle PQS is similar to triangle TQX
Answerangle Q is common; angle PSQ = angle TXQ, corresponding angles; angle SPQ = angle XTQ, corresponding angles; hence similar
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام النسبة المعطاة بين جزأي الضلع، المطلوب إيجاد النسبة بين جزء القطر الممتد من أحد الرأسين إلى نقطة التقاطع، والقطر كاملًا.
كيف تحلّه؟
القطعة الداخلية توازي الضلع، فهي تقسم القطر بالنسبة نفسها التي تقسم بها الضلع. حوّل النسبة المعطاة بين الجزأين إلى نسبة الجزء إلى الضلع كاملًا، ثم انتبه إلى أي الجزأين يقابل الجزء المطلوب من القطر. الفخ الشائع هو أخذ الجزء الخطأ، أو كتابة نسبة الجزء إلى الجزء بدل الجزء إلى الكل.
- 1TX is parallel to PS, so SX : SQ = PT : PQ
- 2PT : TQ = 2 : 1, so PT : PQ = 2 : 3
- 3SX : SQ = 2 : 3
Answer2 : 3
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد النسبة بين مساحة المثلث الصغير ومساحة متوازي الأضلاع كاملًا.
كيف تحلّه؟
أوجد نسبة الأطوال بين المثلث الصغير والمثلث الكبير، وربّعها لتحصل على نسبة المساحتين. ثم تذكّر أن القطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين، فمساحة المثلث الكبير نصف مساحة متوازي الأضلاع. اجمع الخطوتين لتحصل على النسبة المطلوبة. الفخ الشائع هو نسيان أن المثلث الكبير نصف الشكل فقط.
- 1TQ : PQ = 1 : 3, so area TQX : area PQS = 1² : 3² = 1 : 9
- 2Area PQS = 1/2 × area PQRS
- 3Area TQX : area PQRS = 1/9 × 1/2 : 1 = 1 : 18
Answer1 : 18
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المثلثات المتشابهة بالعربي
تدرّب على أسئلة المثلثات المتشابهة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara