حل السؤال 8، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2024: المثلثات المتشابهة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث قطعة توازي القاعدة فتقطع منه مثلثًا صغيرًا. المطلوب «أكمل» الفراغات في البرهان المكتوب: اكتب اسم الزاوية المساوية في كل سطر، والسبب حيث يُطلب.
كيف تحلّه؟
السطر الأول جاهز سببه: الزاوية عند الرأس مشتركة، فاكتب اسمها في المثلث الصغير. في السطرين الآخرين، كل زاوية عند طرف القاعدة تساوي الزاوية التي في الموضع نفسه عند طرف القطعة الموازية، والسبب أنهما زاويتان متناظرتان. الفخ الشائع هو كتابة «متبادلتان» بدل «متناظرتان»، أو كتابة حروف الزاوية بترتيب خاطئ.
- 1Angle BAC = angle DAE, because common angle
- 2Angle ABC = angle ADE, because corresponding angles (DE parallel to BC)
- 3Angle ACB = angle AED, because corresponding angles
Answerangle BAC = angle DAE angle ABC = angle ADE, corresponding angles angle ACB = angle AED, corresponding angles
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت أطوال القطعة الموازية والقاعدة والجزأين السفليين من الضلعين. المطلوب «أثبت» أن طولي الجزأين العلويين من الضلعين يساويان القيمتين المعطاتين، بعرض الخطوات كاملة.
كيف تحلّه؟
سمِّ الجزء العلوي المجهول، واكتب الضلع كاملًا في المثلث الكبير على أنه الجزء العلوي مضافًا إليه الجزء السفلي المعلوم. اكتب نسبة الجزء العلوي إلى الضلع كاملًا مساويةً لنسبة القطعة الموازية إلى القاعدة. اضرب ضربًا تبادليًا، واجمع حدود المجهول في طرف، ثم اقسم. كرّر الشيء نفسه للضلع الآخر. الفخ الشائع هو مساواة الجزء العلوي بالجزء السفلي في النسبة.
- 1AD/AB = DE/BC: AD/(AD + 2.7) = 5.6/9.8
- 29.8AD = 5.6AD + 15.12, so 4.2AD = 15.12, AD = 3.6 cm
- 3AE/(AE + 3.9) = 5.6/9.8: 9.8AE = 5.6AE + 21.84
- 44.2AE = 21.84, AE = 5.2 cm
AnswerAD/(AD + 2.7) = 5.6/9.8 and AE/(AE + 3.9) = 5.6/9.8, correct elimination of fraction and rearrangement leading to AD = 3.6 and AE = 5.2
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث الكبير خط يوازي القاعدة فيكوّن مثلثًا صغيرًا مشابهًا له. المطلوب: احسب قياس الزاوية عند الرأس المشترك، مع إظهار خطواتك. ستحتاج الطولين اللذين حسبتهما في جزء سابق.
كيف تحلّه؟
في المثلث الصغير نعرف الآن أضلاعه الثلاثة: الخط الموازي والضلعين اللذين وجدتهما من التشابه. نطبّق قاعدة جيب التمام: جيب تمام الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين المحيطين بها ناقص مربع الضلع المقابل، مقسومًا على ضعف حاصل ضربهما.
- 1cos DAE = (3.6² + 5.2² − 5.6²)/(2 × 3.6 × 5.2)
- 2= 8.64/37.44 = 0.2307…
- 3Angle DAE = 76.65…° ≈ 76.7°
Answer76.7 or 76.65 to 76.66
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث أ ب ج، القطعة د هـ توازي ب ج. معطاة أطوال من الأجزاء السابقة والزاوية عند أ. المطلوب مساحة المثلث الكبير أ ب ج.
كيف تحلّه؟
اجمع الطولين على كل ضلع لتحصل على الضلعين الكاملين أ ب و أ ج. الزاوية عند أ محصورة بينهما، فالمساحة نصف حاصل ضربهما في جيب هذه الزاوية. الفخ: حساب مساحة المثلث الصغير أ د هـ فقط.
- 1Use AD = 3.6 and AE = 5.2 from part (b), and angle A = 76.65…° from part (c)
- 2AB = 3.6 + 2.7 = 6.3 cm and AC = 5.2 + 3.9 = 9.1 cm
- 3Area = 1/2 × 6.3 × 9.1 × sin 76.65…°
- 4= 27.89… ≈ 27.9 cm²
Answer27.9 or 27.87 to 27.90
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المثلثات المتشابهة بالعربي
تدرّب على أسئلة المثلثات المتشابهة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara