حل السؤال 10، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2021: نظرية فيثاغورس
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متوازي مستطيلات أبعاده مقرّبة لأقرب مليمتر، أي لأقرب عُشر سنتيمتر. المطلوب الحدّ الأعلى لمساحة سطحه الكلية، أي أكبر مساحة ممكنة. السؤال عليه ثلاث درجات، فاكتب خطواتك.
كيف تحلّه؟
نجد الحدّ الأعلى لكل بُعد بإضافة نصف مليمتر. مساحة السطح هي مجموع مساحات الأوجه الستة، وهي ثلاثة أزواج من المستطيلات المتطابقة. نحسب مساحة كل نوع من الأوجه بالحدود العليا، ونجمعها، ثم نضاعف المجموع. الفخ أن تنسى مضاعفة المجموع أو أن تضيف نصف سنتيمتر بدل نصف مليمتر.
- 1Upper bounds: 6.25, 4.85, 2.55
- 26.25 × 4.85 + 6.25 × 2.55 + 4.85 × 2.55 = 30.3125 + 15.9375 + 12.3675 = 58.6175
- 3Surface area = 2 × 58.6175 = 117.235 cm²
Answer117.235
الجزء (bi) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مربع، ورأسه فوق مركز القاعدة مباشرة، ومعطى الارتفاع وطول الحرف المائل. «أثبت أن» تعني أن طول ضلع القاعدة معطى لك، وعليك أن تكتب خطوات الحساب كاملة التي توصل إليه.
كيف تحلّه؟
الارتفاع والحرف المائل ونصف قطر القاعدة تكوّن مثلثًا قائمًا وتره الحرف المائل، فأوجد مربع نصف القطر بفيثاغورس. القطر الكامل ضعف نصفه. ثم في المربع، القطر وتر لمثلث قائم ضلعاه ضلعا المربع المتساويان، فطبّق فيثاغورس مرة ثانية لتجد الضلع. الفخ: اعتبار نصف القطر نصف ضلع القاعدة.
- 119² = XC² + 17² → XC² = 361 − 289 = 72
- 2AC = 2 × XC, so AC² = 4 × 72 = 288
- 3Base side s: s² + s² = AC² → 2s² = 288 → s² = 144
- 4s = √144 = 12 cm
Answer√144 = 12
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مربعة، ورأسه فوق مركز القاعدة مباشرة، ومعلوم ارتفاعه وطول أحد الأحرف المائلة، لكن ضلع القاعدة غير معطى. المطلوب حساب حجم الهرم، والقانون مكتوب لك.
كيف تحلّه؟
بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم المكوَّن من الارتفاع والحرف المائل نجد المسافة من المركز إلى رأس القاعدة، وهي نصف القطر. نضاعفها لنحصل على قطر المربع، ثم نجد مساحة المربع من قطره (مربع الضلع يساوي نصف مربع القطر). بعدها الحجم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. الخطأ الشائع: اعتبار المسافة من المركز إلى الرأس نصف الضلع.
- 1In triangle EXC: XC² = 19² − 17² = 72
- 2Diagonal AC = 2 × XC, so AC² = 4 × 72 = 288
- 3Square base: side² = AC² ÷ 2 = 144, so side = 12 cm
- 4V = 1/3 × 144 × 17 = 816 cm³
Answer816
الجزء (biii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الهرم قاعدته مربعة ورأسه فوق مركزها، ومعلوم الارتفاع وطول حرف مائل. المطلوب: احسب قياس الزاوية المحددة في أحد الأوجه المثلثة، عند ركن القاعدة. أظهر خطواتك.
كيف تحلّه؟
الوجه مثلث متساوي الساقين لأن الأحرف المائلة كلها متساوية، وقاعدته ضلع المربع الذي وجدته في جزء سابق. ننزل عمودًا من رأس الهرم على ضلع القاعدة فينصّفه، فيتكوّن مثلث قائم. جيب تمام الزاوية المطلوبة يساوي نصف ضلع القاعدة مقسومًا على الحرف المائل، ثم معكوس جيب التمام.
- 1Triangle CBE is isosceles with EB = EC = 19, BC = 12
- 2cos CBE = 6/19
- 3Angle CBE = cos⁻¹(6/19) = 71.59… ≈ 71.6°
Answer71.5 to 71.6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية فيثاغورس بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية فيثاغورس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara