4024/21 October/November 2022 سؤال 11: حجم الهرم

Question 1

في الشكل مخمّس منتظم له مركز، وطول ضلعه معلوم، والبعد من المركز إلى أحد الرؤوس مجهول. المطلوب أن تُثبت أن هذا البعد يساوي القيمة المكتوبة مقرّبة لمنزلتين عشريتين. عبارة «أثبت أن» تعني أن تعرض الحساب كاملًا وتصل إلى قيمة أدق قبل التقريب.

Accepted Answer

نصل المركز برأسين متجاورين فيتكوّن مثلث متساوي الساقين، زاوية رأسه عند المركز هي ثلاثمئة وستون مقسومة على خمسة. ننزل عمودًا من المركز إلى منتصف الضلع فينصّف الزاوية والضلع، ونحصل على مثلث قائم. نستعمل الجيب: نصف الضلع مقسومًا على البعد المجهول يساوي جيب نصف الزاوية، ثم نحل لإيجاد البعد. اكتب الناتج بأكثر من منزلتين عشريتين قبل أن تقرّبه، وإلا لم يكن إثباتًا. Angle at centre AOB = 360 ÷ 5 = 72° Triangle OAB is isosceles; the line from O to the midpoint of AB bisects angle AOB, giving 36° sin 36° = 3/d d = 3 ÷ sin 36° = 5.1039… d = 5.10 cm (2 d.p.) Answer: 5.103 to 5.104

Question 2

قاعدة الهرم خماسي منتظم، والمسافة من مركزه إلى أحد رؤوسه وجدتها في الجزء السابق، ورأس الهرم فوق المركز مباشرة، وطول كل حرف مائل معلوم. المطلوب حساب حجم الهرم، والقانون مكتوب لك.

Accepted Answer

نجد ارتفاع الهرم بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم المكوَّن من الحرف المائل والمسافة من المركز إلى الرأس. ثم نحسب مساحة القاعدة بتقسيم الخماسي إلى خمسة مثلثات متطابقة رأسها المركز، وزاوية كل منها خُمس الزاوية الكاملة، ومساحة كل مثلث نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية بينهما. بعدها الحجم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. الخطأ الشائع: استخدام الحرف المائل ارتفاعًا. Height h: 14² = h² + 5.10² h = √(14² − 5.10²) = 13.038… Base area = 5 × 1/2 × 5.10 × 5.10 × sin 72° = 61.84… Volume = 1/3 × 61.84… × 13.038… = 268.8… ≈ 269 cm³ Answer: 269 or 268.5 to 269.2

حل السؤال 11، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2022: حجم الهرم

الجزء (a) · 3 درجات

الجزء (b) · 5 درجات

تدرّب على أسئلة حجم الهرم

أسئلة أخرى على حجم الهرم