حل السؤال 10، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2022: تطبيق نظريات الدائرة معًا
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الدائرة شكل رباعي رؤوسه على الدائرة، وأحد أقطاره قطر للدائرة، وزاويتان متساويتان معطاتان. المطلوب «أثبت» أن المثلثين على جانبي القطر متطابقان، مع ذكر «سبب» لكل جملة.
كيف تحلّه؟
اكتب ثلاثة تساويات مع أسبابها: القطر ضلع مشترك بين المثلثين، والزاويتان المعطاتان متساويتان كما في السؤال، والزاويتان المقابلتان للقطر قائمتان لأن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. هذه زاويتان وضلع غير محصور بينهما، فاذكر هذه الحالة. الفخ: ترتيب الرؤوس في جملة التطابق بشكل لا يطابق الزوايا المتناظرة.
- 1AC is common to both triangles
- 2Angle CAB = angle ACD = 40° (given)
- 3Angle ABC = angle CDA = 90° (angle in a semicircle, AC is a diameter)
- 4So triangle ABC is congruent to triangle CDA (AAS)
AnswerAC is common; angle ACD = angle CAB (given); angle ABC = angle CDA (= 90°) angle in semicircle; congruent (AAS)
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل شكل رباعي رؤوسه على دائرة، وقطره قطر للدائرة، وزاويتان متساويتان معلومتان. المطلوب أن تشرح لماذا هذا الشكل الرباعي مستطيل، مع ذكر سبب لكل عبارة تكتبها.
كيف تحلّه؟
الزاويتان المتساويتان متبادلتان بالنسبة للقطر، فهذا يعني أن ضلعين متقابلين متوازيان. كل زاوية مرسومة على القطر قائمة لأنها زاوية في نصف دائرة. من الزوايا القائمة ومجموع زوايا المثلث تصل إلى أن جميع زوايا الشكل قائمة، فهو مستطيل.
- 1Angle ACD = angle CAB are alternate angles, so AB is parallel to DC
- 2Angle ABC = angle ADC = 90° (angle in a semicircle)
- 3So ABCD has parallel sides at right angles: it is a rectangle
AnswerOption 1: angle ACB = angle CAD = 50° since angle ABC = angle CDA = 90° angle in semicircle; rectangle because angle DAB = angle BCD = angle ABC = angle CDA = 90° Option 2: AB parallel to DC since angle ACD and angle CAB are alternate angles; angle ABC = angle ADC = 90° angle in semicircle; rectangle because perpendicular parallel sides
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها ونصف قطرها، وأربع نقاط عليها، وزاويتان معلومتان، وجزء مظلل بين وتر وقوس. المطلوب حساب مساحة الجزء المظلل بخطوات واضحة.
كيف تحلّه؟
الزاوية المقابلة للزاوية المعلومة في الرباعي الدائري تكملها، واطرح منها الزاوية المعلومة الأخرى لتجد زاوية القاعدة في المثلث الذي ضلعاه نصفا قطر. ثم أوجد الزاوية عند المركز. المساحة المظللة هي مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث، والمثلث مساحته نصف حاصل ضرب ضلعيه في جيب الزاوية بينهما. لا تقرّب قبل النهاية.
- 1Angle EHG = 180 − 116 = 64° (opposite angles of a cyclic quadrilateral)
- 2Angle OHG = 64 − 30 = 34°
- 3OH = OG, so angle HOG = 180 − 2 × 34 = 112°
- 4Sector = 112/360 × π × 6² = 35.18…; triangle = 1/2 × 6² × sin 112° = 16.68…
- 5Shaded area = 35.18… − 16.68… = 18.49… ≈ 18.5 cm²
Answer18.5 or 18.49 to 18.50…
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تطبيق نظريات الدائرة معًا بالعربي
تدرّب على أسئلة تطبيق نظريات الدائرة معًا
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara