حل السؤال 9، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2022: حجم ومساحة سطح الكرة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الوعاء نصف كرة كبيرة أُزيلت من وسطها نصف كرة صغيرة. معطى قطر الكبيرة وعرض الحافة. «أثبت أن» المساحة الكلية لسطح الوعاء تساوي القيمة المعطاة بدلالة باي، بخطوات واضحة. قانونا الحجم والمساحة للكرة معطيان.
كيف تحلّه؟
أوجد نصف قطر الكبيرة من القطر، ونصف قطر الصغيرة بطرح عرض الحافة. السطح ثلاثة أجزاء: السطح الخارجي المنحني (نصف سطح الكرة الكبيرة)، والسطح الداخلي المنحني (نصف سطح الكرة الصغيرة)، والحافة الحلقية (الفرق بين مساحتي الدائرتين). اجمعها بدلالة باي. الفخ: نسيان الحافة أو السطح الداخلي، أو طرح عرض الحافة من القطر بدل نصف القطر.
- 1Outer curved surface = 1/2 × 4π × 10² = 2π × 10² = 200π
- 2Inner curved surface (radius 10 − 2 = 8) = 2π × 8² = 128π
- 3Rim = π × 10² − π × 8² = 36π
- 4Total = 200π + 128π + 36π = 364π cm²
Answer2π × 10² + 2π × 8² + π × 10² − π × 8², completed to 364π with at least one intermediate step
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
وعاء خشبي على شكل نصف كرة كبير نُزع من وسطه نصف كرة صغير. تعرف قطر نصف الكرة الكبير وعرض حافة الوعاء، وكتلة السنتيمتر المكعب الواحد من الخشب. المطلوب كتلة الوعاء. قانون حجم الكرة معطى في أعلى السؤال.
كيف تحلّه؟
نجد نصف قطر نصف الكرة الكبير من القطر، ونطرح منه عرض الحافة لنجد نصف قطر نصف الكرة الصغير. حجم نصف الكرة هو نصف حجم الكرة، فنحسب حجم الكبير ونطرح منه حجم الصغير لنعرف حجم الخشب. ثم نضرب حجم الخشب في كتلة السنتيمتر المكعب. الأخطاء الشائعة: استخدام القطر بدل نصف القطر، أو نسيان أخذ النصف لنصف الكرة.
- 1Large radius = 20 ÷ 2 = 10 cm; small radius = 10 − 2 = 8 cm
- 2A hemisphere is half a sphere: volume = 2/3 πr³
- 3Volume = 2/3 π × 10³ − 2/3 π × 8³ = 1022.06… cm³
- 4Mass = 1022.06… × 0.74 = 756.3… ≈ 756 g
Answer756 or 756.2 to 756.4…
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
وعاءان خشبيان متشابهان رياضيًا ومن الخشب نفسه. أُعطيت مساحة السطح الكلية لكل منهما وكتلة الأول. المطلوب حساب كتلة الوعاء الثاني.
كيف تحلّه؟
بما أن الخشب نفسه، فنسبة الكتلتين تساوي نسبة الحجمين. اقسم مساحة الثاني على مساحة الأول لتحصل على معامل المساحة، وخذ جذره التربيعي لتحصل على معامل الأطوال، ثم ارفعه إلى القوة الثالثة لتحصل على معامل الحجم. اضرب كتلة الأول فيه. الفخ: ضرب الكتلة في معامل المساحة مباشرة.
- 1First bowl volume = 2/3 π × 10³ − 2/3 π × 8³ = 1022.06… cm³
- 2First bowl mass = 1022.06… × 0.74 = 756.3… g (from part b)
- 3Area scale factor = 546π ÷ 364π = 1.5, so length factor = √1.5
- 4Mass scale factor = (√1.5)³ = 1.837…
- 5Mass = 756.3… × 1.837… = 1389.4… ≈ 1390 g
Answer1390 or 1388 to 1390
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم ومساحة سطح الكرة بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم ومساحة سطح الكرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara