حل السؤال 3، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2022: الدوال المقلوبة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
متوازي مستطيلات قاعدته مربعة طول ضلعها س، وارتفاعه ع، وحجمه معطى. «أثبت أن» تعني أن تصل بخطوات واضحة إلى صيغة مساحة السطح المعطاة في السؤال، وهي بدلالة س فقط.
كيف تحلّه؟
من الحجم: مربع س في ع يساوي الحجم المعطى، فاكتب ع بدلالة س. المساحة الكلية مساحتا القاعدتين المربعتين مضافًا إليهما أربعة أوجه جانبية كل منها س في ع. عوّض عن ع واختصر لتصل إلى الصيغة المطلوبة. الفخ: كتابة النتيجة دون إظهار خطوة التعويض عن ع.
- 1Volume: x²h = 60, so h = 60/x²
- 2A = 2x² + 4xh (two square ends, four rectangular sides)
- 3A = 2x² + 4x × 60/x² = 2x² + 240/x
Answerh = 60/x² (or xh = 60/x) seen, then A = 2x² + 4x × 60/x² → 2x² + 240/x or A = 2x² + 4 × 60/x → 2x² + 240/x
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك جدول قيم لمقدار يعتمد على س، وفيه خانتان فارغتان. المطلوب إكمال الجدول بحساب القيمتين الناقصتين.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة س في القانون المعطى: احسب ضعف مربع س، ثم أضف إليه ناتج قسمة العدد على س. اكتب الناتج في الخانة الفارغة، وتحقق أن القيم الجديدة تتماشى مع نمط القيم المجاورة في الجدول.
- 1x = 5: A = 2 × 25 + 240/5 = 50 + 48 = 98
- 2x = 6: A = 2 × 36 + 240/6 = 72 + 40 = 112
Answer| x | 5 | 6 | | A | 98 | 112 |
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن ترسم منحنى المساحة المعطاة على الشبكة في المدى المحدد لقيم س. كلمة «ارسم» تعني رسمًا دقيقًا باستخدام نقاط الجدول.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقاط الجدول بدقة، وانتبه لمقياس المحور الرأسي لأنه كبير. المنحنى ينزل بسرعة ثم يصل إلى أدنى نقطة ثم يصعد. صِل النقاط بمنحنى أملس، ولا تجعل القاع مدببًا أو مسطحًا.
- 1Plot (1, 242), (2, 128), (3, 98), (4, 92), (5, 98), (6, 112), (7, 132), (8, 158)
- 2Join with a smooth curve
AnswerCorrect smooth curve
الجزء (d) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك متوازي مستطيلات قاعدته مربعة وحجمه معلوم. المطلوب أن تجد أصغر قيمة ممكنة لمساحة سطحه الكلية، مستخدمًا المنحنى الذي رسمته.
كيف تحلّه؟
أصغر مساحة سطح تقابل أدنى نقطة على المنحنى. حدّد أدنى نقطة على رسمك واقرأ قيمتها من المحور الرأسي. يُقبل الجواب ضمن مدى صغير لأن القراءة من الرسم تقريبية. الخطأ الشائع هو كتابة قيمة س عند أدنى نقطة بدل قيمة المساحة.
- 1Lowest point of the curve is near x = 3.9
- 2Minimum surface area ≈ 92 cm²
Answer90 to 92
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متوازي مستطيلات قاعدته مربعة، وحجمه معطى، ومساحة سطحه معطاة. ارتفاعه أكبر من طول ضلع قاعدته. المطلوب إيجاد أبعاده الثلاثة، وتستعمل في ذلك التمثيل البياني من الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
على التمثيل البياني لمساحة السطح بدلالة ضلع القاعدة، ابحث عن النقاط التي تكون فيها المساحة مساوية للقيمة المعطاة. هناك قيمتان؛ اختر الأصغر، لأن الارتفاع يجب أن يكون أكبر من ضلع القاعدة. ثم احسب الارتفاع بقسمة الحجم على مربع ضلع القاعدة. اكتب الأبعاد الثلاثة: ضلع القاعدة مرتين ثم الارتفاع.
- 1Read the graph at A = 120 on the left branch (h > x means x is small): x ≈ 2.2
- 2h = 60/x² = 60/2.2² = 12.4
- 3Dimensions: 2.2 cm by 2.2 cm by 12.4 cm
Answerx = 2.1 to 2.3, h = 11.3 to 13.6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المقلوبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المقلوبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara