حل السؤال 23، 4MA1/1HR يناير 2019: الدوال العكسية
Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A 4MA1 · Paper 1HR (Higher) · بالآلة الحاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت دالة فيها جذر تربيعي وحرف ثابت موجب، والمطلوب إيجاد قيمة العدد الذي إذا أدخلته في الدالة العكسية أعطت هذا الثابت، مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
إذا كانت الدالة العكسية تحوّل هذا العدد إلى الثابت، فإن الدالة الأصلية تحوّل الثابت إلى هذا العدد. لذلك يكفي أن تعوّض بالثابت مكان المجهول في الدالة الأصلية ثم تبسّط، فيُختصر الثابت. يمكنك أيضًا إيجاد الدالة العكسية كاملة بتربيع الطرفين وتجميع الحدود، لكنه طريق أطول. انتبه أن العدد المطلوب موجب.
- 1Let y = f(x) = √(x² + k²) / x
- 2Square both sides: y² = (x² + k²)/x², so x²y² = x² + k²
- 3Collect the x terms: x²(y² − 1) = k², so x = k/√(y² − 1)
- 4So f⁻¹(p) = k/√(p² − 1)
- 5f⁻¹(p) = k means k/√(p² − 1) = k, so √(p² − 1) = 1
- 6p² − 1 = 1, so p² = 2 and p = √2 as p > 0
Answer√2
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت دالة أولى فيها ثابت موجب ك، ودالة ثانية تربّع المدخل. عند تركيبهما (نطبّق الأولى ثم الثانية) وإدخال العدد أ، يكون الناتج ك. المطلوب كتابة أ بدلالة ك، مع العلم أن ك أكبر من واحد. اكتب خطوات عملك.
كيف تحلّه؟
التركيب يعني تربيع الدالة الأولى، فيختفي الجذر التربيعي ويُربَّع المقام. نساوي الناتج بـ ك ونضرب في المقام. نجمع الحدود التي فيها مربع أ في طرف ونخرجه عاملًا مشتركًا، ثم نقسم. نأخذ الجذر التربيعي، ونختار الجذر الموجب لأن المجال موجب. الفخ الشائع نسيان تربيع المقام أو الإبقاء على الجذر.
- 1g(x) = x², so gf(a) = (f(a))²
- 2(f(a))² = (a² + k²)/a², so (a² + k²)/a² = k
- 3a² + k² = ka², so k² = a²(k − 1)
- 4a² = k²/(k − 1), so a = k/√(k − 1) as a > 0
Answerk/√(k − 1)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال العكسية بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال العكسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara