LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

حل السؤال 11، 4PM1/01 يناير 2020: حجم المنشور

Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة

الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.

الجزء (a) · 6 درجات

ماذا يطلب السؤال؟

علبة على شكل منشور ثلاثي قائم، مقطعه مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه السين، وحجمه معلوم، ومساحة سطحه الكلية مجهولة. المطلوب «بيّن أن» المساحة تساوي العبارة المعطاة بدلالة السين.

كيف تحلّه؟

أدخل طول المنشور مجهولًا. مساحة المثلث متساوي الأضلاع نصف مربع الضلع في جيب ستين درجة. الحجم مساحة المقطع في الطول، فاجعل الطول موضوع القانون. المساحة الكلية مثلثان مضافًا إليهما ثلاثة مستطيلات، كل منها الضلع في الطول. عوّض عن الطول وبسّط حتى تصل تمامًا إلى العبارة المعطاة. الفخ: نسيان أحد الوجهين المثلثين أو أحد المستطيلات.

  1. 1Let h be the length of the prism. Area of triangle = ½x² sin 60° = (√3/4)x²
  2. 2Volume: (√3/4)x²h = 72
  3. 3h = 288/(√3x²) = 96√3/x²
  4. 4S = 2 × (√3/4)x² + 3xh
  5. 5S = (√3/2)x² + 3x × 96√3/x²
  6. 6S = √3x²/2 + 288√3/x

AnswerS = √3x²/2 + 288√3/x shown

الجزء (b) · 5 درجات

ماذا يطلب السؤال؟

إذا تغيّرت السين، المطلوب باستخدام التفاضل إيجاد قيمة السين التي تجعل المساحة أصغر ما يمكن لأربعة أرقام معنوية، مع تبرير أنها قيمة صغرى.

كيف تحلّه؟

اشتق المساحة بالنسبة للسين، واكتب الحد الثاني على صورة أس سالب قبل الاشتقاق. ساوِ المشتقة بالصفر، فتصل إلى أن مكعب السين يساوي عددًا، فخذ الجذر التكعيبي. للتبرير احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة عند هذه القيمة، فالنقطة صغرى. الفخ: نسيان خطوة التبرير، أو الخطأ في إشارة مشتقة الحد ذي الأس السالب.

  1. 1dS/dx = √3x − 288√3/x²
  2. 2Set dS/dx = 0: √3x = 288√3/x², so x³ = 288
  3. 3x = ∛288 = 6.604
  4. 4d²S/dx² = √3 + 576√3/x³
  5. 5At x = 6.604, d²S/dx² = 3√3 ≈ 5.20 > 0, so S is a minimum

Answerx = 6.604; d²S/dx² > 0 so this gives a minimum

الجزء (c) · درجتان

ماذا يطلب السؤال؟

بعد إيجاد طول الضلع الذي يجعل مساحة سطح العلبة أصغر ما يمكن، المطلوب هذه القيمة الصغرى للمساحة نفسها مقرّبة لثلاثة أرقام معنوية.

كيف تحلّه؟

عوّض بقيمة السين التي وجدتها في الجزء السابق في عبارة المساحة، لا في المشتقة. استخدم القيمة الكاملة من الآلة الحاسبة لا المقرّبة. الفخ: التعويض في المشتقة، أو التقريب المبكر فيختلف الناتج.

  1. 1S = √3(6.604)²/2 + 288√3/6.604
  2. 2= 37.77 + 75.53 = 113.3
  3. 3S = 113

AnswerS = 113

تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم المنشور بالعربي

تدرّب على أسئلة حجم المنشور

حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة أخرى على حجم المنشور

كل أسئلة حجم المنشور ←