حل السؤال 10، 4PM1/01 يناير 2020: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: متوازي أضلاع، ومتجها ضلعين منه من الرأس الأول معلومان. المطلوب كتابة متجه القطر من الرأس الأول إلى الرأس المقابل، ومتجه القطعة بين منتصفي ضلعين، بدلالة المتجهين المعطيين.
كيف تحلّه؟
في متوازي الأضلاع الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية، فالسير على أي ضلع يساوي متجه الضلع المقابل له. القطر هو مجموع المتجهين. للقطعة بين المنتصفين، تحرّك من المنتصف الأول إلى الرأس المشترك ثم إلى المنتصف الثاني، وكل حركة نصف ضلع. الفخ: إشارة خاطئة عند السير عكس اتجاه المتجه.
- 1OB = OA + AB = a + c
- 2MN = MB + BN = ½c − ½a = ½(c − a)
AnswerOB = a + c; MN = ½(c − a)
الجزء (b) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أن نقطة التقاطع تقسم القطعة بين المنتصفين بنسبة مجهولة لامدا، وتقسم القطر بنسبة مجهولة ميو. المطلوب إيجاد المجهولين بطريقة المتجهات.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه نقطة التقاطع من الرأس الأول بطريقتين: مرة بالسير على القطر (ميو مضروبًا في القطر)، ومرة بالسير إلى المنتصف الأول ثم جزء لامدا من القطعة بين المنتصفين. لأن المتجهين المعطيين غير متوازيين، ساوِ معاملي كل منهما في التعبيرين، فتحصل على معادلتين في المجهولين. حلّهما معًا. الفخ: مقارنة المعاملات قبل تبسيط كل تعبير وجمع الحدود المتشابهة.
- 1OX = OA + AM + λMN = a + ½c + ½λ(c − a)
- 2OX = μ(a + c)
- 3Equate a: 1 − λ/2 = μ
- 4Equate c: ½ + λ/2 = μ
- 5So 1 − λ/2 = ½ + λ/2, giving λ = 1/2
- 6μ = ½ + ¼ = 3/4
Answerλ = 1/2, μ = 3/4
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم النتائج السابقة. المطلوب النسبة بين مساحة الشكل الرباعي المحدد ومساحة متوازي الأضلاع، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
الشكل الرباعي هو المثلث الذي يقطعه القطر من متوازي الأضلاع (نصف مساحته) مطروحًا منه مثلث صغير عند الرأس المقابل. المثلث الصغير يشترك في الزاوية مع المثلث الكبير، وضلعاه جزءان معلومان من ضلعيه: ما بقي من القطر بعد نقطة التقاطع، ونصف الضلع. فمساحته حاصل ضرب هذين الكسرين في مساحة المثلث الكبير. الفخ: نسيان أن المثلث الكبير نصف متوازي الأضلاع فقط.
- 1XB = ¼OB and BN = ½BC, so area XBN = ¼ × ½ × area OBC = ⅛ area OBC
- 2Area OBC = ½ area OABC, so XBN = 1/16 of the parallelogram
- 3OXNC = OBC − XBN = 8/16 − 1/16 = 7/16 of the parallelogram
- 4Ratio 7 : 16
Answer7 : 16
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara