حل السؤال 8، 4PM1/02 يونيو 2024: حجم المنشور
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منشور ثلاثي قائم مقطعه مثلث قائم متساوي الساقين وتره السين، وطوله مجهول، وحجمه معلوم. المطلوب «بيّن أن» المساحة الكلية لأوجهه تساوي العبارة المعطاة.
كيف تحلّه؟
من فيثاغورس: مربع الوتر يساوي ضعف مربع الساق، فتجد الساق بدلالة السين. مساحة المثلث نصف مربع الساق؛ اضربها في الطول وساوِها بالحجم لتجد الطول بدلالة السين. المساحة الكلية: مثلثان، ومستطيلان عرض كل منهما الساق، ومستطيل عرضه الوتر. عوّض بالطول وبسّط، واجمع الحدين اللذين يجتمع فيهما جذر اثنين وواحد. الفخ: نسيان أحد الأوجه.
- 1x² = DE² + DE², so DE = x/√2
- 2Volume: ½ × (x/√2)² × y = 3.6, so y = 72/(5x²)
- 3S = 2 × x²/4 + 2 × (x/√2) × y + x × y
- 4= x²/2 + √2 × 72/(5x) + 72/(5x)
- 5= x²/2 + 72(√2 + 1)/(5x)
AnswerS = x²/2 + 72(√2 + 1)/(5x) shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مع تغير السين، المطلوب «باستخدام التفاضل» قيمة السين التي تجعل المساحة صغرى لثلاثة أرقام معنوية، مع «تبرير» أنها صغرى.
كيف تحلّه؟
اشتق المساحة: الحد الكسري مضاعف للسين أس سالب واحد، فمشتقته سالبة. ساوِ المشتقة بالصفر واجعل مكعب السين موضوع القانون وخذ الجذر التكعيبي. للتبرير احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة لكل سين موجبة.
- 1dS/dx = x − 72(√2 + 1)/(5x²) = 0
- 2x³ = 72(√2 + 1)/5
- 3x = 3.2637… ≈ 3.26
- 4d²S/dx² = 1 + 144(√2 + 1)/(5x³) > 0 for x > 0, so minimum
Answerx = 3.26 (S is a minimum since d²S/dx² = 1 + 144(√2 + 1)/(5x³) > 0)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم قيمة السين من الجزء السابق لإيجاد أصغر قيمة للمساحة الكلية مقرّبة إلى رقمين معنويين.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة السين غير المقرّبة في عبارة المساحة الأصلية لا في المشتقة، ثم قرّب الناتج لرقمين معنويين فقط. الفخ: التقريب لعدد خاطئ من الأرقام المعنوية.
- 1S = 3.2637²/2 + 72(√2 + 1)/(5 × 3.2637)
- 2= 15.977… ≈ 16
AnswerS = 16
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم المنشور بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم المنشور
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara