حل السؤال 8، 4PM1/01 يناير 2020: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حل معادلة: جيب الزاوية (ضعف السين ناقص خمس وسبعين درجة) يساوي عددًا عشريًا سالبًا، لقيم السين من الصفر حتى أقل من مئة وثمانين، مقرّبًا لأقرب عدد صحيح.
كيف تحلّه؟
سمِّ الزاوية داخل القوس زاوية جديدة، واحسب مداها من مدى السين. خذ معكوس الجيب لتجد القيمة الأساسية، ثم استخدم تماثل منحنى الجيب لتجد كل القيم داخل المدى الجديد (الجيب سالب في الربعين الثالث والرابع). بعد ذلك أضف خمسًا وسبعين واقسم على اثنين. الفخ: البحث عن الحلول في مدى السين الأصلي بدل مدى الزاوية الجديدة فيضيع حل.
- 1sin⁻¹(−0.515) = −31.0°
- 22x − 75 = −31 or 2x − 75 = 180 + 31 = 211
- 3x = 44/2 = 22 or x = 286/2 = 143
Answerx = 22, 143
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حل معادلة: ضعف ظل الزاوية مضافًا إليه خمسة أمثال جيبها يساوي صفرًا، من الصفر حتى مئة وثمانين درجة، بمنزلة عشرية واحدة عند الحاجة.
كيف تحلّه؟
اكتب الظل على صورة الجيب مقسومًا على جيب التمام، ثم أخرج الجيب عاملًا مشتركًا. الآن إما الجيب صفر، وإما ما بقي في القوس صفر فيعطيك قيمة لجيب التمام. حلّ كل حالة داخل المدى المطلوب، ولا تنسَ طرفي المدى إن كانا مشمولين. الفخ الكبير: القسمة على الجيب، فتضيع الحلول التي يكون فيها الجيب صفرًا.
- 12 sin y/cos y + 5 sin y = 0
- 2sin y (2/cos y + 5) = 0
- 3sin y = 0 gives y = 0, 180
- 4cos y = −2/5 gives y = 113.6
Answery = 0, 113.6, 180
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة فيها ثلاثة أمثال مربع جيب التمام ناقص ثلاثة أمثال مربع الجيب زائد الجيب زائد اثني عشر تساوي صفرًا. المطلوب أن «تشرح رياضيًا» لماذا لا توجد قيمة للزاوية ثيتا تحققها.
كيف تحلّه؟
استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب، فتصبح المعادلة تربيعية في الجيب وحده. رتّبها وحلّلها إلى قوسين لتجد قيمتين للجيب. ثم اكتب الشرح: جيب أي زاوية محصور بين سالب واحد وواحد، فقارن القيمتين بهذا المدى. الفخ: الاكتفاء بالقيمتين دون كتابة جملة الاستنتاج، وهي جزء من الدرجات.
- 1cos²θ = 1 − sin²θ: 3(1 − sin²θ) − 3 sin²θ + sin θ + 12 = 0
- 26 sin²θ − sin θ − 15 = 0
- 3(2 sin θ + 3)(3 sin θ − 5) = 0
- 4sin θ = −3/2 or sin θ = 5/3
- 5−1 ≤ sin θ ≤ 1, so neither value is possible: no values of θ
Answersin θ = −3/2 or 5/3; both lie outside −1 ≤ sin θ ≤ 1, so there are no solutions
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara